高一数学浅谈三角解题的变换策略.docVIP

浅谈三角解题的变换策略 李锋 江苏省沛县体育中学 通讯地址：沛县汤沐路66号 邮编：221600 联系电话 电子邮箱：lfls5658@ 摘要：在三角函数的学习过程中，会遇到很多的三角公式，其变幻莫测，同学们在解决三角问题时常常需要将要解决的问题变换为已解决的问题，以便达到化繁为简、化难为易、化异为同的目的，那么，我们如何把握好变换的方向，有目的进行三角恒等变换是学好三角的关键。本文从五个方面阐述三角解题的变换策略，以达到激发学生自主探究、训练学生创新思维的目的。 关键词：三角解题 变换策略 新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师应创设引导学生主动参与的教学情景，激发学生自主探究，培养学生掌握和运用知识的能力。在三角函数的教学中，让学生掌握好三角基础知识与基本运算技能是学好三角的前提，但有些三角题目，如果按一般的解题方法和思路将会导致解题的困难和繁琐。因此，在三角例题讲解时，有必要训练学生使用巧妙方法，培养学生创新思维能力。下面谈谈三角解题教学中激发学生自主探究、灵活运用有关知识与技能找出解决三角问题捷径的几种变换技巧，以达到训练创新思维的目的。 1、变换角 一个数学问题的解决不仅要掌握相应的解题方法，更重要的取决与解题者如何准确消除已知条件与所求结论的差异，顺利沟通已知条件与所求结论之间的关系。因此，看准角与角的关系十分重要。哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析。 例1：苏教版《数学》（必修4）P99例4求证： 分析：条件中有3个角2A+B、A、A+B这三个角有关系吗？能否减少角的个数？这都是必须思考的问题，显然有A+（A+B）=2A+B 因此，左边 （三个角变为两个角） （逆用公式） =右边 这里用到了拆角的方法，减少角的个数，在角的变换中经常利用角的和、差、倍、分等关系，拆、并、凑等手段达到变不同角为同角，变未知为已知的目的。 例2：苏教版《数学》（必修4）P106 5若求的值 分析：已知角，未知角，已知角与未知角有怎样的关系呢？显然有 所以， 角的变换应因题而异，如、、等。 2、变换函数名 三角解题中经常出现不同名的三角函数，这时应注意观察三角函数名称上的差异，需化异名函数为同名函数。变换依据是同角三角函数关系式和诱导公式，如切割化弦、边角互化、万能代换等方法。 例3：苏教版《数学》（必修4）P98 例3求函数的最大值 分析：用公式化为一个角的三角函数 当 即时 函数 例4：苏教版《数学》（必修4）P24 12（2）证明： 分析：左边是正、余弦，而右边是正切，则可用切割化弦消除名称差异，而使问题得以解决。 右边=左边 3、变换结构 分析题目结构，掌握结构特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段为使用公式创造条件，这也是三角解题的重要策略。 例5：苏教版《数学》（必修4）P94 9（2）计算 分析：将式子中分子的“1”换成，则所求式子分子与分母就变为的二次齐次式，再将分子与分母同除，所求式子 变为的式子 原式 例6：苏教版《数学》（必修4）P108 例3化简： 分析：由倍角公式起降幂作用。 原式 4、消元变换 消元法是基本的数学方法之一，在三角变换中常常使用它消去某一个角或三角函数使问题简化。 例7：已知： ① ②求： 分析：结论中是与无关的三角函数，因此，只需消去与有关三角函数即可。 由①得： ③ 由②得： ④ ③+④得： 所以： 例8:已知 ① ② 求 分析:欲求,只需消去有关的三角函数即可. 解: 由①得： 由②得： 因为 所以即 所以 5、换元变换 换元法又叫变量替换法，运用这种方法解决问题时通常把原问题中未知量或未知量代数式用新的变量替换，进而把原来的数学问题转化含新变量的新问题，通过对新问题求解获得原问题的解。换元法是一种构造型思维方法，它在中学数学只的应用十分广泛，在解题中如何由题设条件，恰当而巧妙地代换是换元法的前提。 例9：设：证明： 分析：条件与结论结构类似，差别在于前是正弦，后是余弦，注意到正弦与余弦关系并联想到互为余角的诱导公式，故可作的换元。 证明：设代入题设得： 所以：即 例10：求函数的最值 分析： 遇到与相关的问题，常常用换元法用表示 解：设 则 所以 当 当 三角解题的过程是对角、函数名称和式子结构进行变换的过程，在解决三角中的化简、求值和证明等问题时，运用上述变换策略一定会提高学生分析问题和解决问题的能力，从而激发学生自主探究，达到训练创新思维的目