高三数学空间直线和平面综合复习（文）人教版知识精讲.docVIP

高三数学空间直线和平面综合复习（文）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 空间直线和平面综合复习 【典型例题】 [例1] 已知正方体棱长为。 （1）求与AC所成的角； （2）求与平面ABCD所成的角； （3）求与平面ABCD的距离； （4）求证：平面，并求平面分所成两部分的比。 解：如图所示 （1）由平面ABCD，DB为在平面ABCD内的射影，且，则根据三垂线定理，有 （2）由DB为在平面ABCD内的射影，则为与平面ABCD所成的角。 在中，，故 （3）由平面ABCD，又由平面ABCD，则的长就等于与平面ABCD的距离，故所求距离为。 （4）由三垂线定理可证，同理可证，故平面。 连结，设 由，则～，故 即平面分所成的两部分比为 [例2] 在正方体中，边长为，E为BC的中点，求异面直线AE和间的距离。 解：如图，取AD、的中点分别为F、，连结、 由，则四边形为菱形 故AE到面的距离即为异面直线AE和的距离 过B作面于M，过E 作面于N，由，故M、N均在的角平分线上 N为CM的中点 在中，，，，则 ，即异面直线AE与的距离为 [例3] 在平面内有，在外有点S，斜线，，且斜线SA、SB分别与平面成等角。 （1）求证：； （2）设点S与平面的距离为4，且，试求点S与直线AB的距离。 解：如图所示 （1）证明：过点S作于D，连结AD、BD，则，，且、分别为SA、SB和平面所成的角，依题意，有 由，则 又由，，则，故 （2）在四边形ACBD中，由，，，又由题设，则四边形ACBD为正方形 连结AB、CD并设，连结SO 由（三垂线定理），即SO为S到直线AB的距离 由，则，又，则 在中，有，即点S到AB的距离为5 [例4] 已知棱长为10的正四面体ABCD中，E为线段AD上的点，且CE与平面BCD所成的角为，求线段AE的长。 解：如图，设，则 作平面BCD于F，连结CF，则为CE与平面BCD所成的角，即 作平面BCD于O，则，由四面体ABCD为正四面体，则 由 在中，由，则 又在中，，，由余弦定理，得 ，即 化简得 解此方程，有或（舍） 【模拟试题】（答题时间：90分钟） 一. 选择题 1. 两条直线与平面所成的角相等，则的位置关系（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 2. 空间两条直线平行的充分条件是（ ） A. 平行于同一平面 B. 垂直于同一条直线 C. 与同一平面所成的角相等 D. 分别垂直于两个平行平面 3. 如果AP、BP、CP两两垂直，则P在平面ABC内的射影一定是的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 4. 下列命题中不正确命题的个数是（ ） （1）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； （2）过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直； （3）过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直； （4）若异面，过一定可作一个平面与垂直； （5）若异面，过不在上的点M，一定可以作一个平面与都垂直。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成的角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，M、N分别是棱、AB上的点，且，则的大小是（ ） A. 大于900 B. 小于900 C. 900 D. 不能确定 7. 已知PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体中，E、F分别是、AB的中点，则EF与对角面所成角为（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 1500 9. 设是两条异面直线，在下列命题中，正确的是（ ） A. 有且仅有一条直线与都垂直 B. 有一个平面与都垂直 C. 过直线有且仅有一个平面与平行 D. 过空间任意一点必可作一条直线与都相交 10. 已知直线不在平面内，那么下列命题正确的个数为（ ） （1）若不平行于，则不平行于内的任何直线 （2）若平行于，则平行于内的所有直线 （3）若平行于，则与垂直的任何直线与平面垂直 （4）若垂直于内无数条直线，则必有 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，O是EF的中点，现沿AE、AF和EF把这个正方形折形