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(2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A
2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)
试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分;
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、(本题满分50分)
如题一图,给定凸四边形,,是平面上的动点,令.
(Ⅰ)求证:当达到最小值时,四点共圆;
(Ⅱ)设是外接圆的上一点,满足:,,,又是的切线,,求的最小值.
[解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点,有
.
因此
.
因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号,因此当且仅当在的外接圆且在上时,
. …10分
又因,此不等式当且仅当共线且在上时取等号.因此当且仅当为的外接圆与的交点时,取最小值.
故当达最小值时,四点共圆. …20分
(Ⅱ)记,则,由正弦定理有,从而,即,所以
,
整理得, …30分
解得或(舍去),
故,.
由已知=,有,即,整理得,故,可得, …40分
从而,,为等腰直角三角形.因,则.
又也是等腰直角三角形,故,,.
故. …50分
[解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接交的外接圆于点(因为在外,故在上).
过分别作的垂线,两两相交得,易知在内,从而在内,记之三内角分别为,则,又因,,得,同理有,,
所以∽. …10分
设,,,则对平面上任意点,有
,
从而 .
由点的任意性,知点是使达最小值的点.
由点在上,故四点共圆. …20分
(Ⅱ)由(Ⅰ),的最小值
,
记,则,由正弦定理有,从而,即,所以
,
整理得, …30分
解得或(舍去),
故,.
由已知=,有,即,整理得,故,可得, …40分
所以,为等腰直角三角形,,,因为,点在上,,所以为矩形,,故,所以. …50分
[解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用等代表所对应的复数.
由三角形不等式,对于复数,有
,
当且仅当与(复向量)同向时取等号.
有 ,
所以
(1)
,
从而
. (2) …10分
(1)式取等号的条件是
复数 与
同向,故存在实数,使得
,
,
所以 ,
向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角,
从而四点共圆.
(2)式取等号的条件显然为共线且在上.
故当达最小值时点在之外接圆上,四点共圆. …20分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
以下同解法一.
二、(本题满分50分)
设是周期函数,和1是的周期且.证明:
(Ⅰ)若为有理数,则存在素数,使是的周期;
(Ⅱ)若为无理数,则存在各项均为无理数的数列满足 ,且每个都是的周期.
[证] (Ⅰ)若是有理数,则存在正整数使得且,从而存在整数,使得
.
于是
是的周期. …10分
又因,从而.设是的素因子,则,,从而
是的周期. …20分
(Ⅱ)若是无理数,令
,
则,且是无理数,令
,
……
,
……. …30分
由数学归纳法易知均为无理数且.又,
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