(2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A.docVIP

(2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A.doc

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(2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A

2008年全国高中数学联合竞赛加试(A卷) 试题参考答案及评分标准 说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、(本题满分50分) 如题一图,给定凸四边形,,是平面上的动点,令. (Ⅰ)求证:当达到最小值时,四点共圆; (Ⅱ)设是外接圆的上一点,满足:,,,又是的切线,,求的最小值. [解法一] (Ⅰ)如答一图1,由托勒密不等式,对平面上的任意点,有 . 因此 . 因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号,因此当且仅当在的外接圆且在上时, . …10分 又因,此不等式当且仅当共线且在上时取等号.因此当且仅当为的外接圆与的交点时,取最小值. 故当达最小值时,四点共圆. …20分 (Ⅱ)记,则,由正弦定理有,从而,即,所以 , 整理得,                …30分 解得或(舍去), 故,. 由已知=,有,即,整理得,故,可得,       …40分 从而,,为等腰直角三角形.因,则. 又也是等腰直角三角形,故,,. 故. …50分 [解法二] (Ⅰ)如答一图2,连接交的外接圆于点(因为在外,故在上). 过分别作的垂线,两两相交得,易知在内,从而在内,记之三内角分别为,则,又因,,得,同理有,, 所以∽. …10分 设,,,则对平面上任意点,有 , 从而 . 由点的任意性,知点是使达最小值的点. 由点在上,故四点共圆.  …20分 (Ⅱ)由(Ⅰ),的最小值 , 记,则,由正弦定理有,从而,即,所以 , 整理得,               …30分 解得或(舍去), 故,. 由已知=,有,即,整理得,故,可得,       …40分 所以,为等腰直角三角形,,,因为,点在上,,所以为矩形,,故,所以. …50分 [解法三] (Ⅰ)引进复平面,仍用等代表所对应的复数. 由三角形不等式,对于复数,有 , 当且仅当与(复向量)同向时取等号. 有 , 所以 (1) , 从而 . (2)  …10分 (1)式取等号的条件是 复数 与 同向,故存在实数,使得 ,     , 所以 , 向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角, 从而四点共圆. (2)式取等号的条件显然为共线且在上. 故当达最小值时点在之外接圆上,四点共圆. …20分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知. 以下同解法一. 二、(本题满分50分) 设是周期函数,和1是的周期且.证明: (Ⅰ)若为有理数,则存在素数,使是的周期; (Ⅱ)若为无理数,则存在各项均为无理数的数列满足 ,且每个都是的周期. [证] (Ⅰ)若是有理数,则存在正整数使得且,从而存在整数,使得 . 于是 是的周期.                             …10分 又因,从而.设是的素因子,则,,从而    是的周期.                        …20分 (Ⅱ)若是无理数,令 , 则,且是无理数,令 , …… , ……. …30分 由数学归纳法易知均为无理数且.又,

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