(2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准A.docVIP

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷） 试题参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分； 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、（本题满分50分） 如题一图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令． （Ⅰ）求证：当达到最小值时，四点共圆； （Ⅱ）设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有 ． 因此 ． 因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时， ． …10分 又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值． 故当达最小值时，四点共圆． …20分 （Ⅱ）记，则，由正弦定理有，从而，即，所以 ， 整理得，　　　　　　　　　　 　 　　　…30分 解得或（舍去）， 故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 　　　　　 …40分 从而，，为等腰直角三角形．因，则． 又也是等腰直角三角形，故，，． 故． …50分 [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接交的外接圆于点（因为在外，故在上）． 过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，则，又因，，得，同理有，， 所以∽． …10分 设，，，则对平面上任意点，有 ， 从而 ． 由点的任意性，知点是使达最小值的点． 由点在上，故四点共圆． 　…20分 （Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值 ， 记，则，由正弦定理有，从而，即，所以 ， 整理得，　　　　　　　　　　 　　　　…30分 解得或（舍去）， 故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得， 　　　　　 …40分 所以，为等腰直角三角形，，，因为，点在上，，所以为矩形，，故，所以． …50分 [解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用等代表所对应的复数． 由三角形不等式，对于复数，有 ， 当且仅当与（复向量）同向时取等号． 有 ， 所以 （1） ， 从而 ． （2） 　…10分 （1）式取等号的条件是 复数 与 同向，故存在实数，使得 ， 　　　 ， 所以 ， 向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角， 从而四点共圆． （2）式取等号的条件显然为共线且在上． 故当达最小值时点在之外接圆上，四点共圆． …20分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知． 以下同解法一． 二、（本题满分50分） 设是周期函数，和1是的周期且．证明： （Ⅰ）若为有理数，则存在素数，使是的周期； （Ⅱ）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期． [证]　（Ⅰ）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得 ． 于是 是的周期．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…10分 又因，从而．设是的素因子，则，，从而 　　 是的周期． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…20分 （Ⅱ）若是无理数，令 ， 则，且是无理数，令 ， …… ， ……． …30分 由数学归纳法易知均为无理数且．又，