(2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷).docVIP

（A卷） 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数在上的最小值 （ ） A． B． C． D．[解] 当时，，因此，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为22．设，若则的取值范围为 （ D ） A． B． C． D． [解] 因有两个实根 ， 故等价于且，即 且， 解之得． 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 　　　（ ） A. 　 B. 　 C. 　 　 D. [解法一] 依题意知，的所有可能值为2，4，6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 　　　　 ． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 　　　　， 　　　　， 　　　　， 故． [解法二] 依题意知，的所有可能值为2，4，6. 令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得 ， ， ， 故． ．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为cm2，则这三个正方体的体积之和为（ ）764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 　 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3 [解] 设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，，．故．若，则，知，． 若，则，，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解． 若，则，．若，则，．故，但，故，此时无解． 综上，共有两组解或 体积为cm3或cm3．5．方程组的有理数解的数为 （ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解] 若，则解得或 若，则由得． ① 由得． ② 将②代入得． ③ 由①得，代入③化简得. 无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或．设的内角所对的边成等比数列则的取值范围 （ C ） A. B. C. D. [解] 设的公比为，则，而 ． 因此，只需求的取值范围． 成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组 即 解得 从而，因此所求的取值范围．二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．，其中为实数，，，，若，则 　 5 . [解] 由题意知 ， 由得，，因此，，． 8．设的最小值为则[解] ， (1) 时，当时取最小值； (2) 时，当时取最小值1； (3) 时，当时取最小值又或时的最小值不能为， 故，解得，(舍去)．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　 222　　种[解法一] 用4条棍子间的空隙3个学校，而用表示名额．如 　　 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额． 若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”． “每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种． 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分