函数方程其应用历年高考题.docVIP

第三节 函数、方程及其应用 1.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A. B. C. D. 答案 A 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。 2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 答案 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是. 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答 3.(2009山东卷理)（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）,,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值. 解法二: （1）同上. （2）设, 则,,所以 当且仅当即时取”=”. 下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0m1m2160,则 , 因为0m1m2160,所以44×240×240 9 m1m29×160×160所以, 所以即函数在(0,160)上为减函数. 同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则 因为1600m1m2400,所以44×240×240, 9 m1m29×160×160 所以, 所以即函数在(160,400)上为增函数. 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值, 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 5. (2009湖南卷理)（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩， 所以 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 令，得，所以=64 当064时0， 在区间（0，64）内为减函数； 当时，0. 在区间（64，640）内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。 6.（2009年上海卷理）有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。 （1）证明 当时，掌握程度的增加量总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为 ,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。 证明 （1）当 而当，函数单调递增，且0……..3分 故单调递减 当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分 （2）由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分