常见题型解决方法纳、反馈训练及详细解析 专题18 直线和平面所成的角的求法.doc

第18讲 ：直线和平面所成的角的求法 【考纲要求】 能用向量方法解决直线与夹角的计算问题，直线和平面垂直时，直 线和平面所成的角为，斜线和平面所成的角为所以直线和平面所成的角的范围为。 三、直线和平面所成的角的求法 方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键 是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形。 方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角。 四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。 例1 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积． 解：（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得， 所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥， 又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为[来源:学科网ZXXK] 又 ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由平面，在中，所以. 故边上的高为2，即点到平面的距离，即点点到平面的距离为2. 设直线与平面所成的角为，则， 又，所以. （Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=。 方法二 向量法[来源:学科网ZXXK]建立空间直角坐标系求直线的方向向量求平面的法向量代入公式求出直线和平面所成的角。 例2 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。 则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）. （Ⅰ）, 因为， 所以CM⊥SN （Ⅱ）, 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， 则 因为=，所以SN与平面CMN所成角为45°。 【变式演练2】如图所示，已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60° (1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.  【高考精选传真】 第19题图 【解析】（Ⅰ）解法1：中，设，则． ，为等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如图2），，，且， 所以平面．，所以．于是 ，于是可得，，，，，， 且． 设，则等价于， ，，所以当即是的的一个四等分点，．设平面的法向量，由，得 取． 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ，即． 故与平面所成角的大小为连接，，由计算得， 所以△与△是两个共底边的等腰三角形， 如图所示，取的中点，连接，， 则平面．在平面中，过点作于， 则平面．故是与平面所成的角． 在△中，易得，所以△是正三角形，故，即与平面所成角的大小为 如图，在三棱锥中，，，，平面平面。 （Ⅰ）求直线与平面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角的大小。 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan…………………6分 （2）过D作DE于E，连接CE. 由已知可得，CD平面PAB. 根据三垂线定理可知，CE⊥PA， 所以，. 由（1）知，DE= 在Rt△CDE中，tan 故 1 设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为( ) A 30° B 45° C 60° D 75° 2.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( ) A.B. C. D. 3．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4.直线AB与直二面角α—l—β的两个半平面分别交于A、B两点,且A、Bl,如果直线AB与α、β所成的角分别是θ