常见题型解决方法纳、反馈训练及详细解析 专题13 简单几何体表面积和体积的求法.doc

第13讲:简单几何体的表面积和体积的求法 【考纲要求】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 【基础知识】 一、扇形的面积 （其中代表扇形的弧长，代表扇形的半径，代表扇形的圆心角的弧度数，代表扇形圆心角的度数） 二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起来。 表中S表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长。 三、旋转体的面积和体积公式 旋转体的面积公式不能直接求，所以一般利用展开法求得。 表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 分别表示圆台 上、下底面半径，表示球的半径。 四、求几何体的面积和体积的方法 方法一：对于规则的几何体一般用公式法。 方法二：对于非规则的几何体一般用割补法。[来源:Z+xx+k.Com] 方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法。 【方法讲评】 方法一 公式法 使用情景 几何体是规则的几何体 解题步骤 先求出几何体表面积和体积公式中的基本量，再代入几何体的表面积和体积公式。 例1 如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形． （Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积． [来源:Z#xx#k.Com] （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为； 例2 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：)： (1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积． 解：(1)直观图如图所示： (2)法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的， 在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形， ∴AA1＝BE＝1. 在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1， ∴BB1＝. ∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1 ＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2 ＝7＋(m2)． ∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)， ∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3. 法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一， V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh ＝×(1＋2)×1×1＝(m3)． ∴几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3. 【变式演练1】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积． 例3 　如图1，已知三棱锥中，，，试求三棱锥的体积. 　　　　解：如图2所示，把三棱锥补成一个长方体，易知三棱锥的各边分别是长方体的面对角线. 　　不妨令，则由已知有 　　 　　从而知 . 　　故所求三棱锥的体积为160. 　　例4　如图3，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该多面体的体积为（　　）. 　　（A）　　（B）　　（C）　 （D） 　　 　解：过A作AG⊥EF，连结DG，由对称性，易知DG⊥EF；同理，过B作BH⊥EF，连结CH，也由对称性，易知CH⊥EF，从而有EF⊥面ADG，EF⊥面BCH. 　　从而该多面体的体积等于直三棱柱ADGBCH与三棱锥EADG及三棱锥的体积之和. 　　由已知， ， . [来源:Zxxk.Com] 例5　在四棱锥中，底面为梯形，为的中点，设的体积为V，那么三棱锥的体积为（　　）. 　　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ） 　　解：设点到面的距离为，点到面的距离为. 　　如图4，∵M是EA的中点，∴， 　　∴， 　　而. 　　∴. 　　∵到面EMC的距离即为到面EAC的距离. 　　又∵，.故选（D）. 【高考精选传真】 1.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）