常见题型解决方法纳、反馈训练及详细解析 专题17 异面直线所成的角的求法.doc

第17讲：异面直线所成的角的求法 【考纲要求】 能用向量方法解决直线与直线夹角的计算问题的余弦是一个负值，如，你不能说两条异面直线所成的角为，你应该说两条异面直线所成的角为，因为两条异面直线所成的角的范围为。 例1 在正四棱柱中，，为的中点． （1）求直线AC与平面ABP所成的角； （2）求异面直线AC与BP所成的角； （3）求点B到平面APC的距离． 平面BC1，∴AB⊥PC 在矩形BCC1B1 中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB ∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角 ∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300 ∴直线AC与平面ABP所成的角为300 （2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP， ∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角 【变式演练1】已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求PC的长； (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角B—PC—D为直二面角. [来源:学科网ZXXK]（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值. 解 （1）∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF， 故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角. 依题意可知，四边形ABFC是正方形， ∴∠BAF=45°.[来源:学.科.网Z.X.X.K]，0）， B（3，0，0），D（0，-3，8）， E（0，0，8），F（0，3，0）， ∴=（-3，-3，8）， =（0，3，-8）. cos〈,〉= 设异面直线BD与EF所成角为，则 cos=|cos〈〉|=. 即直线BD与EF所成的角的余弦值为. 【变式演练2】如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′对角线BD′上,∠PDA=60° (1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小. [来源:Z|xx|k.Com]，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________. 3．（2012高考真题上海理19）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=2，PA=2.求： （1）三角形PCD的面积；（6分） （2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分） ，(=. 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线[来源:学科网]BC与AE所成的角 ……8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以∠AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 【反馈训练】 1．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 2.ABCD—A1B1C1D1为正方体,点P在线段A1C1上运动,异面直线BP与AD1所成的角为θ,则θ的范围为( ) A.(0,)B.(0,］C.(0,) D.(0,］ B. C. D. 4. 直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　） A． B． C． D． [来源:学,科,网Z,X,X,K] 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求PC的长； (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小； (3)求证