毕业论文--柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系.doc

分类号（宋体小三加黑） 论文选题类型 U D C 编号 本科毕业论文（设计） （黑体小初） （宋体小一加黑） 题 目 （宋体小二加黑） 学 院 （宋体小三加黑） 专 业 年 级 学生姓名 学 号 指导教师 二○ 年 月（宋体三号加黑） 华中师范大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1、必威体育官网网址 □ ，在_____年解密后适用本授权书。柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差。则当且仅当时，不等式等号成立. 证明：通过构造关于的二次函数来证明 设 若即时，显然不等式成立. 若时，则有且由于成立，所以且当且仅当时，不等式等号成立. 故 2.1.2 应用 在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西—施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）将许多繁琐复杂的问题简单化，比如常常用于求证不等式、最值、解方程组和解三角形的相关问题，而运用柯西施瓦茨不等式的关键在于根据问题的要求并按照其形式，巧妙地构造两组数。 2.1.2.1 用于证明不等式 例1．已知都是正数，求证： 证明：根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组： 利用柯西施瓦茨不等式有 即 所以 2.1.2.2 用于求最值 例2.已知求的最小值. 解：根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组：和 则有 即 所以的最小值. 2.1.2.3 用于解方程组 例3. 在实数范围内解方程组 解：由柯西施瓦茨不等式知 所以当且仅当时等号成立，并将其与联立解方程组可得： 2.1.2.4用于解三角形相关问题 例4. 设分别为三角形三边，其对应的高分别为为三角形外切圆半径，且满足，试确定三角形的形状. 解：设三角形的面积为，则 故 等号当且仅当时成立，因此，此三角形为等边三角形。 2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式 2.2.1定理[1] 在维欧氏空间中，对任意向量有其中等号当且仅当线性相关时成立。 证明：证法1 通过构造关于的二次函数来证明 设 由实向量的内积的双线性，对称性和正定性可知 当时，，不等式成立。 当时，由于成立，则等号当且仅当时成立，即不等式得证。 证法2 通过利用实向量空间的内积的基本性质来证明 如果故结论成立。 若由内积的正定性知令仍由内积的正定性知，且等号只在时成立。把的表达式代入，利用内积的双线性计算得 由于且由内积的对称性知故，其等号只在时成立，即时成立，不等式获证。 注：如果把此不等式中的内积用坐标表达出来，就是下述不等式：它也被称为柯西—布尼亚可夫斯基不等式。 2.2.2应用 2.2.2.1 用于证明不等式 例5. 证明： 证明：取由柯西施瓦茨不等式得 整理得： 2.2.2.2用于求最值 例6. 已知的最小值。 解：构造向量 可得： 由柯西施