合肥工业大学自动控制理论课件2-2.ppt

线性系统的特点：可叠加性和齐次性（叠加原理） 非线性微分方程的线性化 补充：运动的模态 * * 叠加原理：设线性微分方程 若 时方程的解为 ， 时方程的解为 就有 当 时，解为 （可叠加性） 当 （ 为常数）时，解为 （齐次性） 2.2.2 非线性微分方程的线性化 叠加原理说明，对于线性系统 （1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和； （2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍数。 可叠加性和齐次性使线性系统的分析和设计大为简化 严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。如果系统具有严重的非线性，就要采用非线性系统的分析处理方法；但大多数系统在一定限制条件下，都可通过线性化方法近似地用线性方程来描述。这里介绍一种线性化方法---小偏差法。 考虑到实际控制系统都有一个设定工作状态，即系统中各个变量都在各自的设定值（工作点、平衡点）附近作小范围变化，“小偏差法”的基本思想是，对于描述非线性元件输入与输出之间特性的非线性函数，在元件工作点邻域内展开成泰勒级数，在能够忽略二次以上各项的条件下，用泰勒展开式的一次项近似表示元件输入输出特性函数，使得系统中非线性元件线性化，从而使描述系统的非线性微分方程线性化。 将非线性函数 在平衡点 处展开成泰勒级数 解： 设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，有 通过负载阀（节流阀）的液体是紊流，根据流体力学 例2-8 单容水箱液位系统如图所示。 为水箱的流入量， 水箱液面高度为 ，水箱的截面积为 。 列写 与 之间的 线性化微分方程。 为流出量， 是与负载阀的特性有关的系数，阀的开度一定时 为常数。 可得 一阶非线性微分方程。 下面用小偏差法将非线性微分方程 线性化。 称为水阻 1．将非线性元件（节流阀）的特性线性化 设系统在平衡点 附近的小范围内工作，各变量可以表示为 在平衡点处对非线性函数 进行泰勒展开： 由于 很小， 考虑平衡点处 平衡点附近的线性增量方程。 简记为 2．将非线性微分方程增量化 将 代入 3．将非线性微分方程线性化化 求得： 总结使用小偏差法的步骤： 1．将非线性元件线性化 设非线性元件的输入输出特性可用非线性函数表示，且可以在平衡点的邻域内展开成泰勒级数，忽略展开式中的高次项，则元件的输入输出特性可近似写成线性化增量方程。 2．将非线性微分方程增量化 由于非线性元件的线性化描述是一个增量方程，为方便起见，需要将系统中的变量转换成增量形式，使描述系统的微分方程增量化。具体做法为：将微分方程中的各个变量用平衡点处的值和增量值之和的形式表示，并且考虑平衡点处各变量之间的关系，就可以得到增量化的非线性微分方程。 3．将非线性微分方程线性化 将非线性元件的线性增量方程与系统的非线性增量微分方程联立，求得描述系统的线性增量微分方程。 小偏差法的应用条件： （1）要求输入输出变量在平衡点附近作小范围变化，否则忽略泰勒展开式的二次方以上各项，会产生大的误差。 （2）要求非线性特性曲线在平衡点处连续可导，对某些非线性特性，平衡点处的导数不存在，不能使用小偏差法。 2.2.3 用拉氏变换法求解微分方程 S域的代数方程 拉氏变换 解代数方程 系统的微分方程 系统输出的象函数 拉氏反变换 微分方程的解 例2-10 解： 由克希霍夫定律，得 对方程两边进行拉氏变换： 将元件参数代入，并考虑初始条件 消去中间变量，得到微分方程： 输入信号： 得 应用拉氏变换的求解微分方程的优点： （1）将微积分运算转换为代数运算。 （2）运算过程中，初始条件直接代入，不象直接解微分方程要先解 出通解，然后再由初始条件来确定待定系数。 零状态响应 零输入响应 瞬态响应 稳态响应 经拉氏反变换： 模态： 线性微分方程的解 = 特解 + 齐次微分方程的通解 通解：由微分方程的特征方程决定，代表自由运动。 § § § *