离散数学3-4序偶与笛卡尔积3-5关系及其表示学案.ppt

第三章 集合与关系第4讲 上次课内容回顾 集合的概念 集合的表示 集合的关系 特殊的集合：空集、全集、幂集 集合的运算： 3-4 序偶与笛卡尔积 1、序偶(有序2元组)：两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记作x，y，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序序偶，我们可用x，y表示。 注：序偶是讲究次序的。 例1，3和3，1表示平面上两个不同的点，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 2、定义3-4.1：两个序偶相等，x，y=u，v，当且仅当x=u且y=v。 3、有序３元组：是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，表示为x，y，z或x，y，z。 4、有序n元组：有序n元组也是一个序偶，其第一元素是一个n-1元组。 x1，x2，…， xn-1 ，xn，通常简记为：x1，x2，…， xn-1，xn，其中xi称作它的第i坐标，i=1，2，…，n。 x1，x2，…， xn-1，xn =y1，y2，…，yn-1，yn的充要条件是xi=yi，i=1，2，…，n。 序偶x,y其元素可以分别属于不同的集合，因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶的集合。 1、定义3-4.2：设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作A?B。 即 A?B={x，y|x?A∧y?B} 2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则 特别地， 例题 若A={?，?}，B={1，2，3}，求A?B， B?A， A?A， B?B以及(A?B)?(B?A)。 解：A?B={?，1，?，2，?，3，?，1，?，2， ?，3} B?A={1，?，1， ?，2，?，2，?，3， ?， 3， ?} A?A={?， ?，?， ?，?，?，?， ?} B?B={1，1，1，2，1，3，2，1，2，2， 2，3，3，1，3，2，3，3} (A?B)?(B?A)=? 若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则|A?B|=m?n。 三、笛卡尔积的性质 1、对于任意集合A，A??=?， ??A=? 。 2、笛卡尔积运算不满足交换律，当A??，B??，A?B时A?B?B?A。 3、笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非空时(A?B)?C?A?(B?C)。 4、定理3-4.1：对任意三个集合A、B、C，有 (1)A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (2)A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (3)(B?C)?A=(B?A)?(C?A) (4)(B?C)?A=(B?A)?(C?A) 5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C??，则 A?B ? A?C?B?C ?C?A?C?B 证明：设A?C?B?C 。?x?A，因C ??，任取y? C ，有x，y?A?C 因为A?C?B?C，所以x，y?B?C所以x?B，所以A?B 设A?B。?x，y?A?C，则x?A，y?C，又因A?B，所以x?B，所以x，y?B?C，所以A?C?B?C 6、定理3-4.3：对任意四个非空集合，A?B?C?D的充分必要条件是A?C，B?D。 证明：充分性。设A?C，B?D。 由定理3-4.2，因B?D，A??，所以A?B?A?D。又A?C，D非空，所以A?D?C?D，所以A?B?C?D。 必要性。设 A?B?C?D。 ?x?A，y?B，所以x，y?A?B，又因A?B?C?D，所以x，y?C?D，所以x?C，y?D，所以A?C，B?D 105页（2） 设A={a，b}，构成集合?(A) ? A。 解 ?(A) ={?，{a}， {b}，{a，b}} ?(A) ? A={ ?, a ， ?,b , {a},a , {a},b , {b} ,a, {b} ,b, {a,b} ,a, {a,b} ,b,} 3-5 关系及其表示 兄弟关系 师生关系 朋友关系 恋人关系 大于关系 一、关系（Relation） 1、关系 定义3-5.1：任一序偶的集合确定了一个二元关系R，a，b?R记作aRb，称a与b有关系，a，b?R记作aRb，称a与b没有关系。 例如，={x，y|x，y是实数且xy} 说明： (1)把关系R这种无形的联系用集合这种“有形”的实体来描述，为今后的描述和论证带来方便。 (2)序偶是讲究次序的，如果有a，b?R未必有b，a?R ，即a与b有关系R，未必b与a有关系R。 例：甲与乙有父子关系，但乙与甲没有父子