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分析: 所以,D-ABC的体积 可用混合积求出。 例: 求以 , 为顶点的四面体的体积。 , , 以AB,AC,AD为棱的平行六面体的体积是以三角形ABC为底面,AD为棱的三棱柱体积的2倍,而四面体的体积是三棱柱体积的三分之一。 32 所以 解: 构造向量 以AB,AC,AD为棱的平行六面体的体积为 33 三向量的双重外积 定义: 性质: 34 例: 证明一: 由定义 证明二: 35 例: 证明: 36 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念: 1 排列 2 奇(偶)排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 * 向量的内积、外积、混和积 1 向量的内积 向量是一个具有很强的物理背景的概念,尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用,要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系,仅仅只有向量的线性运算就远远不够了,还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。 2 例: 物体放在光滑水平面上,设力F以与水平线成θ角的方向作用于物体上,物体产生位移S,求力F所作的功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的内积。 F S 解: 根据物理知识,F 可以分解成水平方向分力 和垂直方向分力 。其中只有与位移平行的分力 作功,而 不作功。 3 根据内积的定义,上例中的功可写作: 内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数,它等于这两个向量的长度与它们夹角θ=(α,β)余弦的乘积,记为 , 即有 4 (1) 向量的内积又称为点积或数量积 (3) (2) (4) (5) 注: 向量内积不满足结合律 具有以下性质: 5 例: 用向量证明余弦定理 A C B 证明: 6 例: 证明:直径所对应的圆周角为直角. A B C O 证明: 因此 所以 7 例: 证明: 8 内积的坐标表示 对任意向量 (1) 证: 9 (2) (3) 10 向量的外积 上一节讨论了向量的一种乘法:两个向量的内积,其运算结果是一个数。为了反映另一物理现象,本节引入了两个向量的另一种乘法,叫做外积,它的运算结果是一个向量。 11 定义 两个向量α与β的外积α×β是一个向量 1 . 外积及其运算规律 α×β的方向与α,β均垂直,且使α,β,α×β成右手系 (2) (1) α×β的模是以α,β为边的平行四边形的面积, 满足 注 : 即: 12 外积又叫叉积或向量积,具有以下性质: (反交换律) 13 2. 外积的应用 (1) 用向量积来求平行四边形及三角形面积 (2) 用向量积来求点到直线的距离 (3) 用向量积来求证两个向量共线 14 例: 已知α,β不共线,当k取何值时,向量kα+9β与4α+kβ共线。 解: 又 α×α=β×β=0,α×β=-β×α 因为α,β不平行, 故有 , 据题设 (kα+9β)×(4α+kβ)=0 kα×4α+kα×kβ+9β×4α+9β×kβ=0 即 因而 所以 α×β≠0 即 k=±6. 15 例: 证明: 所以, 16 例: 解: 且 17 外积的坐标表示 由定义直接可以得到: 18 因此: (自己算) 19 例: 解法一: 解法二: 20 解: 构造向量
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