计算方法2011秋A卷.doc

武汉大学2011-2012学年第一学期考试试卷 《计算方法》 （A卷） （36学时） 学院： 学号： 姓名： 得分： 1、（14分）已知方程 有一个正根及一个负根， 估计出含根的区间； 分别讨论用迭代格式 求这两个根时的收敛性； 写出牛顿迭代格式。为使牛顿迭代格式求正根时收敛，讨论初值应如何取？ 2、（10分）用杜利特尔（Doolittle）， 其中 3、（12分）设方程组 （1）分别写出Jacobi迭代格式及超松弛迭代格式； （2）证明Jacobi迭代格式是收敛的。 4、（12分）已知数据 xi 1 2 3 4 yi 2 1 0 1 求形如 的拟合曲线。 5、（10分）给定的一组值 xi 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f(xi) -1 0 1 -1 0 -1 1 2 1 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 6、（10分）试确定常数，及 （），使求积公式 有尽可能高的代数精度，并指出代数精度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？ 7、（10分）用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长）： （取5位有效数字计算） 8、（10分）设方程在区间内有唯一根，导数连续，且，建立新的迭代格式 问如何选取实数，使新的迭代格式有局部收敛性。 9、（12分）设 是关于个互异节点的拉格朗日插值基函数，证明  参考答案（2011-12-3） 含根区间：[-2，-1]， [1，2]； ，求负根时迭代收敛，求正根时迭代不收敛； 求正根时，牛顿法收敛： 2、分解为 3、Jacob迭代及超松弛迭代分别为 Jacobi迭代矩阵为 3个特征值都为0，谱半径=01,所以收敛。 4、 a = 32/89 = 0.36, b = -32/89 5、h = 0.2，n = 8等分。复化梯形T=0.4 ，复化辛卜生S=0.2667 6、分别取得 解得 代入仍成立，代入不成立。 次代数精度，是高斯型。 7、 h = 0.1 x1=0.1 =1.2 y1=1.2091 x2=0.2 =1.4289 y2=1.4381 8、 新迭代格式的不动点显然还是，新迭代函数， 令 得，则，所以至少2阶局部收敛。 9、作的拉格朗日插值，得 余项 显然时，有 而时，。所以 再取代入即得。