计算方法课后题答案之习题二.doc

习题二 证明方程在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要二分多少次。 证明: （1） 不妨令，求得： 又因为在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 在区间[1，2]内，所以单调。 得证，在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成，所以绝对误差限应该是位上的一半，即：。由公式： 可得到, 迭代次数为次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 用二分法求方程在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解： 所以在区间[1.5，2]内有根，又 在区间[1.5，2]内 所以在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的次数为： k=9 说明。 即 [1.5，2]，，算得 因为： 所以： 即 [1.75，2]，，算得 …… …… ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.已知方程在附近有根，判断所给出的几个迭代公式是否收敛.并选取一种迭代公式计算近似根。 解：首先求出有根区间： 在附近有根， 0 0 在区间[1.4，1.5]上单调递增，所以在区间[1.4，1.5]内有唯一根。 迭代函数为，可求得： 在区间[1.4，1.5]上1 由定理2-2 所以在1.5附近具有局部收敛性。 ----------------------------------------------------------------------------------------- 5.用牛顿法求方程在x=2附近的根。（精确到10-4） 解：已知，则，显然： 迭代函数等价于： 初始近似根 ， ， ， ， ， 因为： 所以既满足要求的近似根。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7.试用牛顿法导出求的迭代公式，并用此公式求的近似根，精度为10-3。 解： （1） 令，则，求等价于求方程 的正实根。 所以得牛顿迭代公式等价于： （2）并用此公式求的近似根，精度为10-3 a=1.2，牛顿迭代公式为： 而且知道在1.1附近有近似根， 不妨令初始近似根 ， ， ， 因为： 所以既满足要求的近似根。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8.取，用牛顿下山法求方程在x=2附近的根。结果为4位有效数字。 解：结果为4位有效数字即：。 ，则，所以迭代公式 等价于： 初始近似根 ， ， 因为，所以， ， 因为，所以， ， 因为： 所以既满足要求的近似根。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9.用弦截法求方程在x0=1.5附近的根。（x1=1.4精确到10-3） 解： 结果精确到10-3即：。 ，所以弦截法迭代公式 等价于： 初始近似根 ，，代入迭代方程，得 因为： 所以既满足要求的近似根。 4