超松弛迭代法方法的应用.doc

CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 超松弛迭代法的应用 一、问题背景 在科学计算和工程设计中，经常会遇到求解线性方程组的问题，而快速精确求解一直是我们追求的目标，随着计算机技术的发展，我们可以借助计算机使用很多方法来帮助求解，如直接法等，但通常都只能适用于经过有限步运算能求得解的方程，对于方程数和未知数都很多的方程组，计算量往往相当大，因而人们在寻求其他求解方法的时候，发现了迭代法的巨大优点，从最初的Jacobi迭代法到Gauss-Seidel迭代法，计算过程变得快速简洁。在Guass-Seidel迭代法的基础上，人们发现迭代—松弛—再迭代的方法，能更加减少计算步骤，极大地缩短计算时间，在此基础上，人们进一步发现超松弛迭代法的收敛速度最快，而且超松弛迭代法具有计算公式简单，编制程序容易等突出优点。通过选择合适恰当的松弛因子能直接控制算法的收敛性和收敛速度。 二、数学模型 一般而言，因Jacobi迭代收敛速度不够快，所以在工程中用的不是太多。在 Jacobi迭代手链速度很慢的情况下，通常Guass-Seidel也不会很快。因此，可以对Guass-Seidel做修改，提高收敛速度，这就是这里要介绍的超松弛迭代法。 三、算法及流程 在Guass-Seidel中迭代格式为 可以将迭代格式改写为 其中 如果在修正项上加上一个参数，便使得松弛迭代法公式 上式可以改写为 当时候，就退化为Guass-Seidel迭代法；时，称为逐次超松弛迭代法；时，称为逐次低松弛迭代法。通常，统称为逐次松弛迭代法。 MATLAB实现代码： 打开编辑器，输入以下语句并保存为Fsor.m文件。 function[x,k]=Fsor(A,b,x0,w,tol) max=300 ; if(w=0||w =2) error; return ; end D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U); f=w*inv((D-L*w))*b; x=B*x0+f; k=1; while norm(x-x0)=tol x0=x; x=B*x0+f; k=k+1; if(k=max) disp(迭代次数过多，SOR方法可能不收敛); return; end [k,x] end 四、计算结果及分析 用超松弛迭代法，求解方程组 要求计算精度为 打开编辑器输入以下命令并以文件名sor.m保存文件。 a=[5 -1 -1 -1 -1 10 -1 -1 -1 -1 5 -1 -1 -1 -1 10]; b=[-4 12 8 34]; x0=[1 1 1 1]; [x,k]=Fsor1(a,b,x0,1.2,1e-7) 运行程序，在命令窗口输入 sor 运行得到： x = 1.000000009833877 1.999999995028638 3.000000000713360 4.000000002119737 k = 14 计算结果表明迭代到14次时，已经满足精度。为了进一步分析迭代过程中的收敛情况，下面给出的是每一步的迭代值： ans = Columns 1 through 4 2.000000000000000 1.020693606400000 2.052126035968000 3.240994000568320 Column 5 3.985238565152359 ans = Columns 1 through 4 3.000000000000000 1.062667343125283 2.024242781867915 2.969116885521270 Column 5 4.009675528231265 ans = Columns 1 through 4 4.000000000000000 0.988194978323851 1.991189930675583 3.003551127831114 Column 5 3.996017218773414 ans =