第三讲：函数逼近与计算导论.ppt

函数的逼近与计算 如果令 即 则 解得 从而 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 练习一：P77(17) 已知 解得 所以 解 （1） 由法方程 函数的逼近与计算 解得 所以 （2） 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 练习二：P77(18) 已知 解 解得 所以 函数的逼近与计算 Matlab程序 x=-1:0.1:1; y1=abs(x); y2=0.1172+1.6406*x.^2-0.8203*x.^4; plot(x,y1); hold on plot(x,y2); 函数的逼近与计算 通过实验、统计、测量等得到的数据均为近似数据，如图 1、拟合的思想 §1.3 曲线拟合的最小二乘法 拟合曲线 插值曲线 问题：究竟哪一条曲线所代表的关系更能反映事物的本质规律？ 函数的逼近与计算 （1）在近似值值上做插值不合适，甚至产生较大偏差，如 Runge现象 拟合曲线1 插值曲线 （2）哪条拟合曲线更好？ 拟合曲线2 函数的逼近与计算 2、最小二乘法 定义误差 最好的拟合曲线应使 最小 为便于处理，令 最小 函数的逼近与计算 函数 的2范数或Euclid范数。 连续问题求积分 离散问题Σ 函数 的2范数或Euclid范数。 其中， 为点 上Σ的权重 令 函数的逼近与计算 求 使 最小 令 得 函数的逼近与计算 得法方程 其中， 法方程可表示为 离散点标号 基函数标号 函数的逼近与计算 是 的基，线性无关 存在唯一解 因此 的最小二乘拟合为 例 P66 解：作散点图如下： 从右图可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求公式为 x 0 1 2 3 4 5 y 5 3 1 1 2 3 例: 已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘法求 一个多项式拟合这组数据。 由最小二乘法得如下式子： 整理并代入表中的数据得： 代入数据 解之可得： 故所求多项式为： 《数值分析》第三讲 函数的逼近与计算 理学院 函数的逼近与计算 §1.1 引言 1、算例 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 2、逼近的思想 目标函数集合 简单函数集合 何为”逼近”? 如何逼近？ 无穷范数： 平方范数： 函数的逼近与计算 函数的逼近与计算 一致逼近 平方逼近 函数的逼近与计算 §1.2 逼近理论基础 1、一致逼近函数的存在性 Weierstrass定理 p45 定理3.1 ▲ 1834年入波恩大学学习法律和财政。 ▲ 1842～1856年，中学教师。 ▲ 1856年柏林科学院，1864年升为教授。 ▲ 1854年解决了椭圆积分的逆转问题，引起数学界的重视。 ▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。 函数的逼近与计算 ▲ 他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论，引进了现今分析学上通用的ε-δ定义，奠基了分析学的算术化。 ▲ 在变分法中，给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解。 ▲ 在微分几何中，研究了测地线和最小曲面； ▲ 在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵。 ▲ 魏尔斯特拉斯一生中培养了很多有成就的学生，其中著名的有C.B.柯瓦列夫斯卡娅、H.A.施瓦兹、I.L.富克斯、G.米塔格-列夫勒等。 函数的逼近与计算 2、Bernstein逼近函数 p45 3.1.4 且 一致成立 1912年构造 优点：构造性证明，不仅解决了“有”还解决了如何“有”。 缺点：收敛速度太慢，收敛依赖与多项式次数 函数的逼近与计算 3、最佳一致逼近多项式（Chebyshev) 所谓最佳是指在 中最佳（是一个在局部找最优的思想） 令 即 对 找 使得 则 函数的逼近与计算 1、Chebyshev给出如下概念 设 如果 则称 是偏差点。 如果 则称 是正偏差点。 如果 则称 是负偏差点。 2、Chebyshev得到如下结论 如果 是 的最佳一致逼近多项 式，则 在区间[a,b]存在 个轮流为正、负 的偏差点。 函数的逼近与计算 4、以最佳一次逼近多项式为例 存在 使得 且 不变号, 设 令 即 得 由 由Chebyshev定理 函数的逼近与计算 得 即 再由 ? 令 唯一 所以 由Chebyshev定理可知 是 的极值点 令 则 单调增（减） 不变号， 又 函数的逼近与计算 求函数 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 例