第3有限元的数学求解原理案例分析.ppt

  1. 1、本文档共62页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
前一章针对任意形状变形体,基于物体内的微小体元dxdydz定义了描述弹性变形体的所有基本力学信息(ui,εij,σij)、基本方程(平衡、几何、物理)及边界条件。接下来的任务就是对这些方程在具体的条件下进行求解,也就是说在已知边界条件下,由基本方程求出相应的位移场、应力场和应变场。 一般来说,求解方程的途径有两大类:(1)直接针对原始方程进行求解,方法有:解析法(analytical method)、半逆解法(semi-inverse method)、有限差分法(finite difference method)等;(2)间接针对原始方程进行求解,方法有:加权残值法、虚功原理、最小势能原理、变分方法等 3.1 简单问题的解析求解 1D拉杆问题 有一个左端固定的拉杆,其右端承受一外力P。该拉杆的长度为l,横街面积为A,弹性模量为E,如图所示: 3.1 简单问题的解析求解 (1)基本变量 由于该问题视为沿x方向的一维问题,因此只有沿x方向的变量,而其它变量为零。即: 位移:u(x) 应变:εx(x) 应力:σx(x) 3.1 简单问题的解析求解 (2)基本方程 对原三维问题的所有基本方程进行简化,只保留沿x方向的方程,得到该问题的三大类基本方程和边界条件 平衡方程(无体力) 几何方程 物理方程 3.1 简单问题的解析求解 3.1 简单问题的解析求解 (3)求解 对上述的方程直接求解,可以得到以下的结果: 3.1 简单问题的解析求解 (4) 讨论1 上述问题若用经验方法求解(如材料力学的方法),则需要先作平面假设,即假设σx为均匀分布,这样可以得到 再由Hooke定律算出: 再计算右端的伸长量为: 3.1 简单问题的解析求解 通过比较可以看出,经验方法求解的结果和弹性力学的解析结果完全一致。 比较以上解析方法和经验可以看出: 解析方法的求解过程严谨,可以得到物体内各点力学变量的表达,是场变量。 经验方法的求解过程比较简单,但需要事先进行假定,往往只能得到一些特定位置的力学变量表达,而且只能应用于一些简单情形。 3.1 简单问题的解析求解 (5) 讨论2 根据计算能量的方法,得到: 应变能 外力功 势能 3.1 简单问题的解析求解 平面梁的弯曲问题 假设有一个受分布载荷作用的简支梁如图所示,由于简支梁的厚度较小,外载沿厚度方向无变化,那么该问题可以认为是一个oxy平面内的问题 3.1 简单问题的解析求解 1.基本方程 有两种方法来建立基本方程。 方法一:采用一般建模及分析方法,即从对象取出dxdy微元体进行分析,建立最一般的基于(ui,εij,σij)描述的方程,类似于2D问题的基本变量及方程,这样,所用的变量较多,方程复杂。 方法二:采用特征建模(characterized modeling)的简化方法来推导的三大方程,其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的描述。 3.1 简单问题的解析求解 应此简支梁问题的特征为:①梁为细长梁(long beam),因此可只用x坐标来刻画;②主要形变为垂直于x的挠度,可只用挠度(deflection)来描述位移场。 3.1 简单问题的解析求解 针对这两个特征,可以做出以下假定: 直法线假定 小变形与平面假定 该问题的三类基本变量: 位移: (中层性挠度) 应力:σ(采用σ x,其他应力分量很小,不考虑),该变量对应于梁截面上的弯矩M 应变:ε(采用εx,满足直线假设) 3.1 简单问题的解析求解 下面取具有全高度梁的dx“微段”来推导三大类方程 3.1 简单问题的解析求解 几何方程 由变形后的几何关系,可得到 其中,y为距中性层的坐标,k为梁挠度的曲率,即: 3.1 简单问题的解析求解 对上述方程整理,就得到了平面简支梁弯曲问题的基本方程: 3.1 简单问题的解析求解 边界条件 该简支梁的边界为梁的两端,作用在梁上的q(x)已在平衡方程中考虑,因此不作为力的边界条件。 两端位移: 两端力(弯矩): 将弯矩以挠度的二阶导数来表示,即: 3.1 简单问题的解析求解 2.求解 若用基于dxdy微体所建立的原始方程(即原平面应力问题中的三大类方程)进行直接求解,比较麻烦,并且很困难,若用基于简化的“特征建模”方法所得到的基本方程进行直接求解则比较简单,对简支梁问题求解,其方程为: 3.1 简单问题的解析求解 对上述的常微分方程,其解的形式有: 其中c0…c3为待定系数,可由四个边界条件BC求出,有结果: 3.2 虚功原理 虚位移与虚功原理 3.3 应用实例 A1, l1 A2, l2 R3 1. 离散化

文档评论(0)

5201394 + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档