第三节齐次方程导论.ppt

* 第三节 齐次方程 如果一阶微分方程可以写成 齐次方程. 即 得到 u 满足的方程 即 的形式, 作变量代换 代入 则称之为 一阶微分方程 1. 齐次方程 可分离变量的方程 分离变量 两边积分, 求出通解后, 就得到原方程的通解. 一阶微分方程 例 解方程 解 将方程写为 齐次方程 方程变为 即 积分得 可分离变量方程 一阶微分方程 0 d ) ( d 2 2 = - - y y x x xy 例 探照灯反射镜的设计. 一阶微分方程 在xOy平面上有一曲线L,曲线L绕x轴旋转一周, 形成一旋转曲面. 假设由O点发出的光线经此旋转 曲面形状的凹镜反射后都与x轴平行(探照灯内的 凹镜就是这样的), 求曲线L的方程. 解 如图, 设 O点发出的某条 光线经L上一点M (x, y)反射 后是一条与x轴平行的直线MS. 又设过点M的切线AT 与x轴的倾角是 由题意, 一阶微分方程 另一方面, 是入射角的余角, 是反射角的余角, 于是由光学中的反射定律 有 从而 但 而 于是得微分方程 即 入射角 = 反射角 齐次方程 一阶微分方程 为方便求解, 视y为自变量, x为未知函数, 则 有 代入上式得 由曲线L的对称性, 不妨设y 0,上式为 化简得 分离变量 可分离变量的方程 两边积分 一阶微分方程 得 即 由上式可得 即 以 代入上式,得 这就是曲线L的方程,它是以x轴为对称轴,焦点在原点的抛物线. 分析 解 令 方程变为 齐次方程 可分离变量方程 一阶微分方程 . d ) ( d ) 1 ( 的通解 求方程 y y x x y e y x - = + - 两边积分 即 得通解 分离变量 一阶微分方程 解 令 则 代入方程, 积分得 分离变量,得 因方程可变形为 得 例 求解 一阶微分方程 2. 可化为齐次型的方程 6 4 d d - - + + = y x y x x y 5 2 - = = x y ) 1 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 5 ( d d - + + - - + + = x y x y x y 求解 一阶微分方程 通解 得 C = 1, 故所求特解为 6 4 d d - - + + = y x y x x y 5 2 - = = x y [ ] 2 2 ) 5 ( ) 1 ( ln 2 1 + + - = y x 为齐次型方程. (其中h和k是待定的常数) 否则为非齐次型方程. 解法 一阶微分方程 形如 的微分方程 有唯一一组解. 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 一阶微分方程 中必至少有一个为零. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. ● ● 解 代入原方程得 一阶微分方程 例 是非齐次型方程. 方程组 是齐次型方程. 分离变量法得 方程变为 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 一阶微分方程 即 或 自修作业 一、习题7-3(309页) 1.(3)(6) 4.(1) 二、认真读课书 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *