第3章泊松过程案例分析.ppt

第三章 泊松过程(Poisson process) 第一节 泊松过程的定义和例子 第二节 泊松过程的基本性质 第三节 非齐次泊松过程 第四节 复合泊松过程 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平稳增量 过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推出定义3.3的 条件(3).由式 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1} =e-λh =λh =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} = =o(h). 以下证明定义3.3蕴涵定义3.2. 经比较,只需证明由 定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令 Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}. 根据定义3.3的(2)与(3),有 P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0} =P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0} =P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0} =P0(t)[1-λh+o(h)], 所以 =-λP0(t)+ . 令h→0取极限得 P’0(t)=-λP0(t) 或 =-λ. 积分得 lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt. 由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有 Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n} =P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+ P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+ P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}. 根据定义3.3的(2)与(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有 =-λPn(t)+λPn-1(t)+ . 令h→0取极限得 P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t), 所以 eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t), 因此 [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t). 当n=1时,得 [eλtP1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, P1(t)=(λt+c)e-λt. 由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=λte-λt. 以下用数学归纳法证明: Pn(t)= e-λt成立. 假设n-1时有结论,证对n有: P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 根据 [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t) 式,有 [eλtPn(t)]=λeλt e-λt= , 积分得 eλtPn(t)= +c . “电话呼叫”是一个泊松过程.相继出现的第i-1次和第 i次电话呼叫的间距距离Ti=Wi-Wi-1(i=1,2,…)是一个连 续型随机变量,它们都服从参数为λ的指数分布, 其概 率密度为 其等待时间Wn也都是连续型随机变量,服从Γ分布, 其 密度函数称爱尔兰分布: 例3.5 设在[0,t]内事件A已经发生n次,求第k(k＜n)次事 件A发生的时间Wk的条件概率密度函数. 解:先求条件概率P{s＜Wk≤s+h|X(t)=n},然后关于s求导. 当h充分小时,有 P{s＜