第3章多维随机变量案例分析.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 解 易知 例3.11 设（X，Y）~N（0，0，1，1，ρ），求fX｜Y（x｜y）与fY｜X(y｜x). 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于 第四节 随机变量的独立性 定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随机变量X与Y相互独立。 由独立性定义可证 “若X与Y相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件{ x1X≤x2}与事件{ y1Y≤y2}相互独立”。 结论推广：“若X与Y独立，则对于任意一维区间I1和I2，事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。 P{x1X≤x2 ,y1Y≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) =FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1) =[ FX(x2)-FX(x1)][ FY(y2)-FY(y1)] = P{x1X≤x2}P{y1Y≤y2} 所以事件{x1X≤x2}与{y1Y≤y2}是相互独立的。 当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。 例3.13 设（X，Y）在圆域x2+y2≤1上服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？ 解 （X，Y）的联合分布密度为 由此可得 可见在圆域x2+y2≤1上，f（x，y）≠fX(x)fY(y),故X和Y不相互独立. 第五节 两个随机变量函数的分布 1、二维离散型随机变量函数的分布律 例3.15 设（X，Y）的分布律如下表所示，求Z=X+Y和Z=XY的分布律. 上一页 下一页 返回 X Y -1 2 -1 1 2 5/20 3/20 2/20 3/20 6/20 1/20 解 先列出下表 上一页 下一页 返回 P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 （X,Y） X+Y XY （-1,-1） （-1,1）（-1,2）（2,-1） （2,1）（2,2） -2 0 1 1 3 4 1 -1 -2 -2 2 4 从表中看出Z=X+Y可能取值为-2，0，1，3，4，且 P{Z=-2}=P{X+Y=-2}=P{X=-1，Y=-1}=5/20； P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1，Y=1}=2/20；P{Z=1}=P{X+Y=1}=P{X=-1，Y=2}+P{X=2，Y=-1}=6/20+3/20=9/20； P{Z=3}=P{X+Y=3}=P{X=2，Y=1}=3/20； P{Z=4}=P{X+Y=4}=P{X=2，Y=2}=1/20. 于是Z=X+Y的分布律为 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 P -2 0 1 3 4 X+Y 同理可得，Z=XY的分布律为 9/20 2/20 5/20 3/20 1/20 P -2 -1 1 2 4 XY 设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)， 又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。 为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数 2、二维连续型随机变量函数的分布 即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过 求出Z的概率密度 。 求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y) ≤z}={(X,Y)