中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用.doc

中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用 摘要 本文针对偶数阶中心对称矩阵，引入偶数阶置换矩阵，探索了矩阵特征分解的新方法。该方法是通过对矩阵的分块，将复杂大型矩阵特征值问题，转化为几个小矩阵特征值求解，使得问题计算的复杂度大大缩减。 关键词：中心对称矩阵 置换矩阵 特征分解 定义1：如果矩阵P=（）满足 其中 则P是中心对称矩阵[1] 形如 ，都是中心对称矩阵。 定义2：如果，则为n阶置换矩阵 设为n阶置换矩阵，则用左乘（或右乘）矩阵P，可以将其行（或列）按反序重新排列。 定理1：矩阵P是中心对称矩阵当且仅当 证明：若，因为，则，且 其中 因此P是中心对称矩阵。 反之，若P是中心对称矩阵，则显然有. 定理2：设P和Q都是n阶中心对称矩阵，则P+Q，PQ和cP（c为任意实数）仍是中心对称矩阵 证明：设P和Q都是n阶中心对称矩阵，则由定理1， ， ， . 因此，P+Q，PQ和cP仍是中心对称矩阵。 引理1：对于偶数阶（n=2s）置换矩阵J，存在变换矩阵Q，使得为 证明：设，则，，故 即，所以,分别是的属于特征值1，-1的特征向量。同样，设，有，所以和分别是属于特征值1，-1的特征向量。当P为偶数阶（n=2s）时，继续做下去，可得n=2s个相互正交的特征向量，将它们排列为变换矩阵Q的列向量，得 ， 此时有. 对于n阶中心对称矩阵P，则，因而，所以 . 定理3：对于偶数阶中心对称矩阵P，存在变换矩阵Q，使得为准对角矩阵[2] 证明：由引理1，选取变换矩阵Q 设（是s阶矩阵），则 , . 由此可得，故是准对角矩阵，这会便利矩阵特征值的计算。 推论1：设是n（=2s）阶中心对称矩阵，由定理1可知， . 因此，，从而，故 . 因此，2s阶矩阵P的特征值等同于s阶矩阵和的特征值，即将大矩阵特征值计算问题，转化为两个小矩阵的特征值计算，减少了计算复杂度。 特别地，如果s为偶数s=2t，则s阶小矩阵可以继续分解为阶数更小的t阶矩阵，如果t依然是偶数，以此类推，高阶大矩阵特征值问题转化为求解低阶小矩阵特征值问题，计算难度大大减少。 参考文献 [1]邱森，朱林生《高等代数探究性课题集》，武汉大学出版社