公平的席位分配论文.doc

题目：公平的席位分配问题 摘要 数学问题中离不开分配问题，下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中，我会先按照比例的分配方法分配，再按照比例家惯例的方法进行分配，表示不公平的席位分配，最后我们利用Q值法对题目进行重新分配，以Q值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法，但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。 关键词：席位分配 比例法 比例加惯例 Q值法 一、问题的重述与分析 1.1 问题的重述 某学校有3个系学生共200名，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，三个系分别为10，6，4个席位。现因学生转系，三系人数分别为103，63,34名，问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。 1.2 问题的分析 本题讲将有200名学生，甲103、乙63、丙34，现有20个或21个席位，那我们应该怎么来分配呢？看到这个题，首先想到的是用比例加惯例法，得出：20个席位，三系仍分别占有10,6,4个席位；21个席位，三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席，最后通过比较，还是Q值法分配相对公平。 二、符号设定 1、各系的人数：（i=1,2,3……） 2、各系分配到的席位数：（i=1,2,3……） 3、各系不公平程度的指标：（i=1,2,3……） 4、各系Q值：（1,2,3……） 三、模型的建立与求解 3.1 比例加惯例分配 如下表 系别 学生人数 比例（%） 20席的分配 21席的分配 比例 结果 比例 结果 甲 103 51.3 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 分配的席位取整数，20席位时，甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4；可是总席位增加1个席位时，丙系却由4席减为3席，这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配，有的时候是不公平的。 人数 席位 A方 B方 不妨设A、B方人数分别为 、，席位分别为 、 当/=/时，分配公平 当//时，对A不公平 /-/～对A的绝对不公平度 如：=150，=10，/=15 =1050，=10，/=105 =100，=10，/=10 =1000，=10，/=100 /-/=5 /-/=5 虽二者的绝对不公平度相同，但后者对A的不公平程度已大大降低。 若 /﹥/，定义 ～对A的相对不公平度，类似地定义() 公平分配方案应使，尽量小 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时/﹥/，即对A不公平 讨论以下几种情况： （1）若/（+1）﹥/，则这席应给 A （2）若/（+1）﹤/，应计算() （3）若/ ﹥/（+1），应计算() 问：/ ﹤/（+1）是否会出现？ 否！ 若()﹤(),则这席位应给A 若()﹥()，则这席位应给B 3.2 分配新方法“Q值法” （一）当()﹤()，该席给A ，的定义 该席给A，否则该席给B 定义： 该席给Q值较大的一方 推广到m方分配席位，计算 ，该席给Q值最大的一方 （二）三系用Q值法重新分配21个席位： 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系：=103，=10 乙系：=63，=6 丙系：=100，=10 用Q值法分配第20席和第21席 第20席： 最大,第20席给甲系 第21席： 最大，第21席给丙系 Q值方法分配结果：甲系11席，乙系6席，丙系4席，相对要公平 3.3 结果对比 综上所述：按惯例分配法得到的席数分别为：10,6,4，而按Q值计算得到的结果为：11,7,3，只有这样才能做到相对公平 四、模型评价 席位分配问题应该对各方公平，其关键在于建立合理的数量指标，比