20高中阶段二次函数视点(南春中学 陈洁).doc

高中阶段二次函数新视点 湘桥区南春中学 数学教研组 陈洁 【摘要】二次函数具有的丰富内涵和外延，其深入学习和灵活应用是高中数学常考察的知识点，是学生学好高中数学的一大基础。它可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，综合的考查学生的数学基础知识和数学素质，是高中数学一个比较重要的函数模型，在整个高中数学的学习过程中，起着举足轻重的地位。 【关键词】二次函数? 应用 【正文】二次函数在整个高中数学的学习过程中，起着举足轻重的地位。虽然学生通过初中的学习，已经对二次函数作了较详细的学习研究，但由于初中学生的学习特征，数学基础也相对比较薄弱，且受其年龄特征影响，接受能力的限制，所以他们对知识点的学习与掌握多是机械性的，难以从本质上加以理解掌握。而在高中数学的学习中，则常常需要对二次函数的基本概念基本性质，如图象，单调性，奇偶性，有界性等进行灵活应用，这对学生的学习提出了更高水平的要求。常让多数的学生感到困难，尤其是刚刚步入高中生活的高一新生。对二次函数进行深入学习和灵活应用也是高中数学常考察的知识点，是学生学好高中数学的一大基础,对此要掌握好以下几个方面: 一 深入理解函数的概念 通过初中的学习，学生已经基本了解了二次函数的定义，掌握函数的三种表达方式：①一般式②顶点式③两点式。而在刚进入高中数学学习中，通过集合映射有关知识的学习，则能更好让学生从集合映射的角度重新学习函数概念，让学生从质上理解函数这一概念。在这基础上，结合二次函数的学习，则能更高层次的认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素与集合A的元素x对应，记为这里表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，通过具体问题，灵活应用二次函数的有关性质，结合一元二次方程及一元二次不等式等知识点解决问题。 　　例1：已知?(x)= 2x2+2x+5，求?(x+1) 分析：这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量是x+1的函数值,其对应法则为2（）2+2( )+5. 变式：已知函数?(x+1)=2x2+6x+9,求?(x). 分析：这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是2x2+6x+9，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。?(x+1)= 2x2+6x+9=2(x+1)2+2(x+1)+5，再用x代x+1得?(x)=2x2+2x+5。变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1,所以f(t)=2(t-1)2+6(t-1)+9=2t2+2t+5从而可得?(x)= 2x2+2x+5. 二 灵活掌握应用二次函数的基本性质 通过对函数基本性质的学习,让学生更进一步的理解二次函数的单调性,最值以及图像等基本性质。首先我们可以先让学生对二次函数在区间 和区间上的单调性的结论通过定义进行严格的论证，让它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，了解二次函数的对称轴为。同时给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性及其最值。 例2 :已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1] 分析:　作出y＝3x2－12x＋5(x∈R)的图象再分别截取x∈[0,3]，x∈[－1,1]上的图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标。 解: f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7－7， 当x＝2时，等号成立． 即函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f(x)在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时，取得最小值，最小值为－7. (3)由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递减， f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4. 例3：设?(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t),求g(t). 解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，则当在x=1时取最小值－2 (当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2 (当t＞1时，g(t)=?(t)=t2－2t－1 (当t＜0时，g