n阶幻方的同心方阵构法.doc

n阶幻方的同心方阵构造法 　本文根据n阶幻方的定义，首先利用线性方程组的理论证明了：利用同心方阵的办法可以构造出任意阶幻方，进而结合幻方的特点，给出了n阶幻方的具体构造方法． 　　　　　　　　一　同心方阵构造法 定义；将自然数1,2,3…n2排成n行n列的方阵，若每行每列及每条对角线上的n个数字的和皆为常数，称这样的n阶方阵为n阶幻方．这个常数称为幻方常数．同心方阵构造法是一种递推的方法．假定n阶幻方已经做出，就依n阶幻方为基础，在四周加上一层框子，即在第一行的上边，在第n行的下边，各加上一行，在第一列的左边，在第n列的右边，各加上一列．构造出一个n+2阶方阵，新的n+2阶幻方的中间部分是一个n阶幻方，它是由原来的幻方的各元素分别加上2n+2x形成的．n+2阶幻方的外围部分（即第一行，第n+2行，第一列，第n+2列所形成的正方形框子）是由数1,2,3,…中的前2n+2个数，及后2n+2个数，按照下述要求构成的 （1）使正方形各边上的n+2而数的和等于n+2阶的幻方常数k. (2) 使正方形上下两边，左右两边相对元素的和，及对角线两顶点元素的和都等于． 这样构成的n+2阶幻方的方法称为同心方阵构造法 容易证明二阶幻方是不存在的．三阶幻方容易做出，四阶阶幻方见［1］．我们以三阶，四阶幻方为基础，根据本文所给出的方法，可以构造出任意阶幻方． 　　　　　　　二　同心方阵构造法的理论基础 根据同心方阵构造法得到以下4n+4个未知数2n+6个线性方程构成的线性方程组（令） (其中H为幻方常数) 这个线性方程组与常数项组成的增广矩阵如下： 利用线性代数的知识，用矩阵的初等变换，将其化简（具体化简过程从略）成如下形式： 　　由上面的矩阵可以看出；系数矩阵与增广矩阵的秩相等，可知线性方程组有解．这就证明了同心方阵构造法的可行性．同时还可以得到线性方程组的一般解． 从而可知；这4n+4个未知数，其中2n+4个可由其它2n个变量线性表出．即线性方程组中有2n个自由未知量．这些自由未知量可以从数列1,2,…,中的前面2n+2个数，或从后面2n+2个数中选定．便可以由以上公式确定线性方程组的解．这就完成了证明． 利用上述公式作具体的幻方，还有一些技术性的问题需要解决．就是要在指定的数集中求解．即自由未知量在4n+4个数中选定，其它未知量也必须在这4n+4个数中选定．4n+4个未知量与4n+4个自然数构成一一对应．下面给出一个具体的求解的办法．供读者参考．读者还可找到更巧妙的解． 　　　　三　　奇幻方的构造方法 3.1奇幻方的构造法（n=2m+1）假定2m-1阶幻方已经做出，我们要作2m+1阶幻方． 3.2排序 外围正方形四边数字的个数， 前4m个数字由小到大排序，后4m个数字由大到小排序，两个数列构成一一对应如下： 上下两个相对的数的和都等于　 3.3配置上下两行 从（1）中，将排好的4m对数中截取前2m+1对，配置成上下两行，如下：（为方便计记） 　i=12,……….m, i=1,2,……..m,m+1 (2) 由于幻方常数 计算上下两行的和 所以需要对配置的两行进行必要的调整． 调整 对（2）作如下的调整，把第二行中的1换成1+2m+1,把3换成3+2m+1,…,把2i+1换成2i+1+2m+1,…,把2m-1换成2m-1+2m+1=4m,与它们对应的第一行的数也随着变化． 调整后的两行成如下形式： 　　　　3.5　　组合左右两列　　确定四角元素 从4m对数中选出2m+1对后，余下2m-1对，组成在右两列如下： 　　由于4m+2可以拆成2m+2和2m,观察（3）中2m在上面一行，2m+2在下面一行，就把2m放在右上角，把2m+2放在右下角即可．其它两个角的元素是（3）中2m和2m+2对应的另一行上的数，把上行中其余的数加在2m-1幻方的上面下行中对应的数放在下面相对应的位置上．(4)中的上行加在左边，下行对应的数加在右边相对的位置上．这就完成了加边的工作．作出了2m+1阶幻方． 　　　　　　四　　偶幻方的构造方法(n=2m) 4.1偶幻方的构造法（n=2m）假定2m阶幻方已经做出，我们要作2m+2阶幻方． 4.2排序 外围正方形四边数字的个数， 前4m+2个数字由小到大排序，后4m+2个数字由大到小排序，两个数列构成一一对应如下： 上下两个相对的数的和都等于　 4.3配置上下两行 从（5）中，将排好的4m+2对数中截取前2m+2对，配置成上下两行，如下：（为方便计记） 计算上下两行的和 所以需要对配置的两行进行必要的调整． 调整 对（6）作如下的调整，把第一行中的2m+1换成2m+1+m+2=3m+3,那么第二行的b-2就换成b-3m-2,将