“田忌赛马”类博弈的优策略风险的探讨.doc

“田忌赛马”类博弈的最优策略风险的探讨 尹向飞 陈柳钦 （湖南商学院信息系，湖南长沙，410205）（天津社会科学院，天津，300191） 内容提要： 本文将风险引入n重赛马博弈，建立基于支付的风险模型，证明n重赛马博弈支付风险双重最优混合策略的存在性，并进行了实证分析。 关键词： n重赛马博弈；风险；有界闭凸集；支付风险双重最优混合策略 [中图分类号] F12 [文献标识码]A [文章编号] 一、研究背景 “田忌赛马”是很经典的以弱胜多的例子，在现实生活中存在许多诸如此类的例子，文[1]对该类博弈进行了详细的描述与研究。在文[1]中首先给出n重赛马博弈、一轮n重赛马博弈、对换等定义以及相关的定理，下面对相关定义与结论予以回顾。 定义1 博弈中有两个局中人，简称局中人1、局中人2。局中人1有匹“马”，所有的“马”所构成的集合为，， 表示“马”跑得比“马”快，则称为局中人1的初始禀赋集；局中人2有匹“马”，所有的“马”所构成的集合为，，则称为局中人2的初始禀赋集；其中和两两不同。共比赛局，在每局比赛中，局中人1和局中人2从各自的初始禀赋集中挑选出一匹马参与比赛，每匹马仅参加一局比赛。在第局比赛中，设局中人1和局中人2从各自的初始禀赋集中挑选出马分别为，如果表示局中人1在第局比赛中所获得的支付；表示局中人2在第局比赛中所获得的支付。局中人1的总支付为，局中人2的总支付为，显然有，则称该博弈为n重赛马博弈，简记为。 很显然，完全信息下n重赛马博弈对应一个有限策略式零和博弈，其中，，i=1,2，。设为局中人1的支付矩阵（后同），其中表示局中人1采取策略、局中人2采取策略时局中人1的支付，则每行的和都相等，每列的和也相等，每行的和等于每列的和，而居中人2的支付矩阵为。 在文[1]中同样给出n重混合赛马策略的定义，任何一个n重混合赛马策略对应相应有限策略式零和博弈的一个混合策略，因此，我们可以在有限策略式零和博弈的框架下来研究n重混合赛马策略的相关问题。 当然在很多n重赛马博弈中，最优策略往往不止一个，那么在存在多个最优策略的情况下，我们能否优中选优？针对这一问题，文[1]没有给出相应的研究，本文将风险这一概念引入n重赛马博弈，对最优策略优中选优进行研究。 二、几个定理 设分别为对应n重赛马博弈的有限策略式零和博弈局中人1、2的混合策略集（或策略集），其中定义如下： 分别称为局中人1、2的混合策略，称为一个混合局势，在该混合局势中，局中人1的支付期望为： ； 如果存在最优纯策略（,s2），也可以把它看作局中人1以概率1选择策略策略一个混合策略。因此，在此中，设局中人1、2的最优混合策略集分别为： 并且至少存在一个最优混合策略，即，设中的目标函数最大值为，根据对策论的相关理论可以得出中的目标函数最小值也为，其中为常数，则我们可以证明如下两个定理。 定理1 为有界闭凸集。 证明： ①显然为一个有界闭集，而的子集，因此为一个有界集合。 ② 如果，则目标函数的最大值，矛盾，因此，为凸集。 ③设，现在证明为开集。，以下分两种情况讨论。 第一种情况，，由于为闭集，因此为开集 ，故存在， 由于所以。 第二种情况，，由于且，因此其中（）不全成立，或者对全成立。后一种情况是不可能的，否则，我们可以得出的最大值，矛盾。那么至少存在一个k，使得成立，设为到超平面的最短距离，显然，取，则中任意一点满足，所以。 综合第一、二种情况可以得出为闭集。综合①②③知为有界闭凸集。 定理2 为有界闭凸集。 证明方法同定理1。 三、模型的建立与求解 假设1：局中人1、2是理性的，即局中人1、2只从各自的最优混合策略集中选取混合策略，同时知道对方是理性的以及对方的最优混合策略集。 我们知道，在n重赛马博弈中，局中人1、2直接进行博弈时，最终选择的还是纯策略，混合局势只不过定义在各自纯策略集合上的一个概率，就是以不同的概率来选择纯策略，因此局中人1、2每进行一次博弈，得到的支付往往并不等于支付的期望值，局中人1、2各自得到的支付是一个随机变量，该随机变量取相应值的概率直接由混合局势决定，即由概率分布x和y确定，而只不过是满足（3）中所示集合中某一混合策略的支付的期望值。既然局中人1、2各自得到的支付为一个随机变量，我们就可以定义该随机变量的方差。在金融研究中，我们常常用方差作为风险的度量，而n重赛马博弈中局中人的支付的方差由混合局势确定，因此可以用支付的方差来度量混合局势的风险。由于局中人1、2得到的支付互为相反数，因此只要考虑其中一个就可以。 定义2 对于某一n重赛马博弈，其对应的有限策略式博弈为，该有限策略式博弈局中人1的支付矩阵为，分别为该n重赛马博弈局中人1、2的最优策略集，则