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2.5函数的单调性教学设计 钦州市第一中学 陈烈 一、教学目标 理解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，掌握单调区间的求法． 教学重点：函数单调性的定义及单调性判断和证明（定义法和导数法）. 教学难点：函数单调性的判断和证明的变形与含参讨论. 二、考点梳理 1．函数单调性的定义 定义一：给定区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，如果x1x2，都有f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2))，则函数f(x)为这个区间D上的递增(减)函数． 这个定义有如下两种等价形式： 设x1，x2[a，b]，那么 上述(1)0f(x)在[a，b]上是增函数； (2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0f(x)在[a，b]上是增函数． 上述(1)的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率都大于(小于)0. 定义二：给定区间D上的任意x，如果都有f′(x)0(或f′(x)0)，则称函数f(x)在这个区间D上是增(减)函数． 2．单调性在图象上的反映 f(x)在[a，b]上的图象从左向右看，曲线逐渐上升，则f(x)在[a，b]上为增函数，若曲线逐渐下降，则f(x)为减函数． 3．在理解函数单调性时，应注意以下几个问题 (1)单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．(2)函数的单调区间是定义域的子集，定义域中的x1、x2相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值替代． (3)f(x)在区间D1、D2上是增函数，但f(x)不一定在区间D1D2上是增函数；同样f(x)在区间D1、D2上是减函数，但是在区间D1D2上不一定是减函数．证明函数单调性只能用定义法和导数法：(1)定义法：取值→作差→变形→定号→下结论． (2)导数法：求导数f′(x)，若在区间I上恒有f′(x)0，则f(x)在I上为增函数；若在区间I上恒有f′(x)0，则f(x)在I上为减函数． 上是增函数的是（ ） 2．如图1为y＝f(x)在[－2,5]上的图象，则f(x)的单调减区间为__________． 图1证明(判断)函数的单调性 【例1】　证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．【证明】　证法1：设x1，x2(－∞，＋∞)，且x1x2， 则f(x2)－f(x1)＝－x＋x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2)[(x1＋)2＋]． x1x2，x1－x20而(x1＋)2＋0， f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)． 函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证法2：f′(x)＝－3x2≤0，且函数f(x)的定义域为R， f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证明(判断)函数的单调性是一种重要题型要注意定义法的步骤和导数法中函数的连续性． 变式：若函数f(x)＝x＋(a0)在(，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________． 解析：解法1：设x1，x2(，＋∞)，且x1x2，则由f(x)是(，＋∞)上的增函数知f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝(x1－x2)(1－)0恒成立，x1－x20，1－0恒成立，即ax1x2恒成立． x1x22，∴0a≤2即为所求．解法2：f′(x)＝1－，依题意有1－0在(，＋∞)上恒成立，即ax2在(，＋∞)上恒成立，x22，0a≤2即为所求． .（I）讨论的单调性； 解：由题意可知 的定义域为 . ，令，得 ，故的单调增区间为；令，得，故的单调减区间为. 五、课堂小结 1、本节课我们学习了函数单调性的定义，单调区间的定义； 2、学习了证明（判断）函数单调性的两种方法：定义法，导数法； 3、引申到定义的斜率形式和乘法形式，为以后判别相应的题型做准备； 4、讨论函数的单调性之前要注意函数的定义域. 六、课后练习 考点专练10 函数的单调性