在一场算宴中求简明道.docVIP

在一场“算”宴中求简明道 ——2016年江苏省苏锡常镇高三一模试题运算分析 陈志江 江苏省常熟市教育局教学研究室 215500 运算是指在运算律的指导下对具体的数、式进行变形演绎的过程，运算能力是数学的三大基本能力之一（运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力），我国基础教育数学课程一直将运算作为其主要内容．目前虽然教学中大家都很重视运算能力的培养，但是学生运算差的问题却依然存在，甚至还很突出．2016年江苏省苏锡常镇高三一模四市联考落下帷幕，绝大部分学生反映来不及做，因为有很多中档题运算量大．本次考试可谓是一场“算”宴，回顾学生运算中的不足与错误，细细分析，我们发现学生的求“简”意识不够，如果能把这些教训化成以后解题的经验，那就在失败中成长了．笔者曾在文[1]中对备课组长提出进行考试分析的建议，本文是从“运算”角度进行分析的一例，求“简”的数学观念是一个永恒的话题，而在运算中如何求“简”，本文试图通过具体题目的解答分析来作点探究，在此与同行探讨． 一、在用图中求“简” 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数学解题中如果我们能有效地利用图形，回避运算，特别是考试中，就可以简捷地把问题处理好，会大大节省时间． 例1 （第9题）设M是函数的图象上任意一点，过点M向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则＝ ▲ ．，可得和直线方程，将直线方程与直线y＝x．=，由点在函数的图象上，即，从而=-2．尽管本题难度不是很大，大部分同学都能解出（全市实测难度系数为0.84），但求解中涉及求直线方程、求两直线交点、向量的坐标表示、向量数量积运算、代换消元等运算，还是有一定的运算量．不少学生最后求得结果为2，运算出错，可谓前功尽弃，即使求对，也花了不少时间．当然有很多同学注意到点的任意性，采用了特殊化的方法，简化运算，取点为，则，然后仿上过程计算得，再求出结果，但仍有一定计算量．本题如果学生熟悉函数图象（如图1），从图形入手，利用直线与直线y＝x后即可观察得，再求出，那么本题即可“秒杀”． 例2 （第10题）若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则的取值范围是 ▲ ． ．从小到大成等差数列，其对应边依次为，则．= =，可得．．得，由得，所以，即．时，，由于是钝角三角形，故角，这样C点向B点移动，那么就增大了，故可得．．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，，若点A恰为线段OB的中点，则圆心到直线的距离为 ▲ ．的斜率k，二是点（或B）的坐标．动直线，代入圆，由点A恰为线段OB的中点，用求根公式得代入得关于k的方程，算得，再求得圆心到直线的距离为．，则点，代入圆，解得，从而圆心到直线的距离为．．；而法二虽然引入的是两个变量，但充分利用了中点和点A，B都在圆上的条件，在解A点坐标时大大减少了运算，使解题更加快捷．已知椭圆过点，离心率． （2）设直线l与椭圆C交于A，B两点． 若直线l过椭圆C右焦点，记三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值； 若直线l的斜率为，试探究是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．本题第（2）题难度系数0.44，很少学生能成功做完．绝大多数学生设直线l方程椭圆方程联立，消去的过程中学生能得到错误正确得到计算时没有用消元，而是计算了，由于算步骤增加相当高，能正确得到本题若设直线l方程为，由得，所以，所以＝化简时分母变成单项式了，当然这主要是点P和右焦点横坐标相同带来的影响．此两种解法在问题解决中都有应用，至于哪种好则要看实际问题，这就需要我们在运算中要有灵活性，要善于自我调节，及时调整原有的思路． 三、在换元中求“简” 换元法通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化已知函数，，其中，若满足不等式的解的最小值为2，则实数的取值范围是 ▲ ． ．．不等式，令，则不等式可化为，问题转化为该不等式当时的解的最小值为4．，结合二次函数图象可得，即，解得实数的取值范围是．求其最大值，令，则，那么式子，验证等号略．． 使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量对应的取值范围，不能缩小也．．未知数个数由多化少．已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 ▲ ． ，做法是对利用和各自的单调性去求，错在没有消元的意识．若存在，当时，，，=，其中．．． 答案提供解答过程为：设直线l的方程为，直线l与椭圆C的交点为，化简得，． = =（下略）．进行消元时同答案方法做，用，也有部分同学再去计算和，由于运算过程长，出现很多运算错误．去消元，就得到，没有繁琐运算，非常简便．．．．．“‘明道明即明白、懂得，道即规律、原则．明道者，明白原则、掌握规