活页作业（十五）抛物线及其标准方程.docVIP

活页作业(十五)　抛物线及其标准方程 1．抛物线x2＝y的焦点F到其准线l的距离是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C. D. 解析：因为2p＝，p＝，所以由抛物线的定义可知所求的距离为. 答案：D 2．(2014·新课标全国卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A. 答案：A 3．已知F是抛物线y2＝8x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝12，则线段AB中点到y轴的距离为(　　) A．16 B．6 C．8 D．4 解析：设A，B到准线的距离为d1，d2，则由抛物线的定义得，d1＋d2＝12，所以线段AB中点到准线的距离为6，所以线段AB中点到y轴的距离为6－2＝4. 答案：D 4．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 5．(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y. 当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2. 答案：2 6．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的左焦点，而且与x轴垂直，又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程． 解：设抛物线方程为y2＝2px(p0)．将点代入方程，得p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.由此知，双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)． 所以点到两焦点的距离之差为2a＝1.所以a＝，b＝＝. 所以双曲线的方程为－＝1，即4x2－＝1. 7．抛物线y2＝24ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x 解析：准线方程为l：x＝－6a，点M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a＝5，a＝，抛物线方程为y2＝8x. 答案：A 8．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．位置由F确定 解析：根据抛物线的定义， |PF|等于点P到准线l的距离，即圆心P到直线l的距离等于半径|PF|，所以半径为|PF|的圆P与准线l相切． 答案：B 9．抛物线y2＝2px，(p＞0)上点P的纵坐标为，则P点到焦点F的距离为________． 解析：将点P的纵坐标为yp＝， 代入抛物线方程得xp＝， 则P点到焦点F的距离等于P点到准线的距离， 即＋＝. 答案： 10．汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________． 解析：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴， 抛物线的顶点为坐标原点， 建立直角坐标系xOy，如图所示． 因灯口直径|AB|＝24, 灯深|OP|＝10, 所以点A的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y2＝2px(p0), 由点A(10,12)在抛物线上，得122＝2p×10, 所以p＝7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0). 因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm. 答案：3.6 cm 11．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求抛物线的方程. 解：设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，则其准线为x＝－ . 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋＋x2＋＝8， 即x1＋x2＝8－p. 因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|＝|QB|， 即＝， 又y＝2px1，y＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0， 因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线的方程为y2＝8x. 12．已知抛物线的方程为x2＝8