旋转面、柱面和锥面概要.ppt

y o x z . 抛物线 绕 z 轴一周 5 旋转抛物面 y . o x z 生活中见过这个曲面吗？ . 5 旋转抛物面 抛物线 绕 z 轴一周 得旋转抛物面 6环面 y x o r R 绕 y轴 旋转所成曲面 5环面 z 绕 y轴 旋转所成曲面 y x o . 5环面 z 绕 y轴 旋转所成曲面 环面方程 . 生活中见过这个曲面吗？ y x o . . ? 以直线为母线的旋转面 母线和轴线共面时 圆柱面 (母线和轴线平行) 圆锥面 (母线和轴线相交 而不垂直) 平面 (母线和轴线正交) 下面讨论母线和轴线异面时的情形, 假定直母线 与轴线不垂直. 旋转面 取直角坐标系, 使得 z 轴为轴线, 原点在母线 l 与轴线的公垂线上, x 轴就是公垂线, 并且 l 在其 正向. 此时 l 在平面 x = d 上 (d 为 l 与 z 轴的距离). 设其一般方程为 其中 k ? 0 (否则 l 与 z 轴垂直). l z O x y 旋转面 求旋转面的方程为: 于是旋转面的方程为 即 这是一个以 z 轴为轴线的旋转单叶双曲面. 的点 M? 的坐标为 对任意一点 M(x, y, z), l 上满足M?M 垂直于 z 轴 旋转面 反过来, 一般的一个旋转单叶双曲面 是由直线 或 绕 z 轴旋转得到的旋转面. 注: 旋转单叶双曲面是由许多直线构成的, 这种 直线称为它的直母线, 每一条直母线都是由 l1 或 l2 旋转一个角度得到的, 因此有两组直母线. 旋转面 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转面 称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径. 注: (1) 圆柱面由轴线和半径所决定, 是到轴线的 距离等于半径的点的轨迹. (2) 这里定义的圆柱面是向两侧无限伸展的, 不 同于中学的有限圆柱体的侧面. 圆柱面 如果轴线经过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r, 则 点 M 在圆柱面上 ? 即 |M0M ? u| = r|u|. (2.10) 上述称为圆柱面的向量式方程. 如果已知轴线过点M0, 平行于向量 u, 并且 M1 在 圆柱面上, 则 (2.11) 代入(2.10), 得 |M0M ? u| = |M0M1 ? u|. 圆柱面 例 已知圆柱面的轴线的方程 点 M1(1, ?2, 1) 在圆柱面上, 求圆柱面方程. 解: 平行于轴线的向量 u = (2, ?1, 0) ? (2, 0, 1) = ? (1, 2, ?2) . 轴线上一点 M0 (0, 1, ?3). 根据(2.11)得 (2y + 2z + 4)2 + (?2x ? z ? 3)2 + (?2x + y ? 1)2 = 65. 整理得 8x2 + 5y2 + 5z2 ? 4xy + 4xz + 8yz + 16x + 14y + 22z ?39 = 0. 圆柱面 例 经过曲线 的圆柱面有几个? 写出它们的方程. 解: 易见圆柱面的轴线过椭圆中心M0 (0, 0, 0). 设其轴线平行于向量 u = (l, m, n), 先确定u的坐标. M1 (0, 1, 0), M2 (2, 0, 0), 易求得椭圆上三点 因此它们在圆柱面上, 从而 |M0M1 ? u| = |M0M2 ? u| = |M0M3 ? u|. 圆柱面 解得 代入坐标得到 于是可取 或 , 圆柱面 即 当 时, 根据 (2.11) 得 当 时, 根据 (2.11) 得 即 圆柱面 练习: 在空间直角坐标系中, 球面S 的半径为2, 球心坐标为(0, 1, ? 1). 求S 的平行于向量u(1, 1, 1) 的外切圆柱面的方程. 解: 由题意知平行于轴线的向量 u = (1, 1, 1). 轴线上一点可取为球心 (0, 1, ?1). 圆柱面的半径即为球面半径 2. 于是根据(2.10)得 (y ? z ? 2)2 + (?x + z + 1)2 + (x ? y + 1)2 = 12. 整理得 x2 + y2 + z2 ? xy ? xz ? yz ? 3y + 3z ?3 = 0. 圆柱面 定义 由一族互相平行的直线构成的曲面称为 柱面. 这些直线为它的直母线. 柱面上的一条曲 线如果和每一条直母线都相交, 就称它为柱面的 一条准线