数值计算A上机实验指书.doc

数值计算A实验指导书 实验一 高斯消去法 1.1 实验目的 掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤； 培养编程与上机调试能力。 1.2 算法描述 1.2.1 高斯消去法基本思路。 设有方程组，设是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是僵局真的初等行变换作用于方程组的增广矩阵，将其中的变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。 列主元高斯消去法计算步骤 将方程组用增广矩阵表示。 步骤1：消元过程，对 选主元，找使得 如果，则矩阵奇异，程序结束；否则执行（3）。 如果，则交换第行与第行对应元素位置，，。 消元，对，计算对，计算 步骤 2：回代过程： 若则矩阵奇异，程序结束；否则执行（2）。 对，计算 1.3实验要求 用选主元素法和高斯消去法两种方法解方程组。 1.4 实验内容 计算书上的习题 实验二 解线性方程组的迭代法 2.1实验目的 ① 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法； ② 培养编程与上机调试能力. 2.2算法步骤 2.2.1迭代法的基本思想 根据方程组设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量代入迭代公式，求出，再以代入同一迭代公式，求出，如此反复进行，得到向量序列.当收敛时，其极限即为原方程组的解. 2.2.2雅可比（Jacobi）迭代法解方程组 设方程组的系数矩阵对角线元素，为最大迭代次数，为容许误差. 雅可比（Jacobi）迭代法解方程组算法步骤如下： ① 取初始向量，令. ② 对，计算 . ③ 如果，则输出，结束；否则执行④ ④ 如果，则不收敛，终止程序；否则，转② 2.2.3高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)、SOR迭代法 在雅可比（Jacobi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能会更快地接近方程组的准确解.基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法. 算法可相应地从雅可比（Jacobi）迭代法改造得到. 2.3实验要求： （1）选择一种计算机语言（Matlab）设计出雅可比（Jacobi）Gauss-Seidel、SOR迭代法，迭代法的算法程序，并且选择不同的迭代次数，观察输出结果； （2）利用Matlab求方程组 2.4思考： ① 判别迭代法收敛的充分必要条件及充分条件是什么？ ② 雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法收敛性的各种判别条件是什么？ 2.5 实验内容 计算书上的习题 实验三 矩阵特征值问题计算 3.1实验目的 ① 掌握求矩阵的特征值和主特征向量的幂法； ② 培养编程与上机调试能力. 3.2算法描述 3.2.1幂法 3.2.2 Jacobi方法 3.3实验要求 （1） 选择一种计算机语言设计出幂法求主特征值和相应特征向量的程序，并且选择不同的初值，观察所需的迭代次数和迭代结果. （2） 利用Matlab求特征值和特征向量 调用格式1： eig(A) %得到特征值列向量 调用格式2：，其中为由特征列向量构成的方阵，为由特征值构成的对角阵. %得到特征值和所对应的特征向量 3.4 实验内容 计算书上的习题 3.5 思考 幂法收敛速度取决于什么？怎样加速收敛？ 实验四 插值法 4.1 实验目的 掌握插值法的基本思路和步骤； 培养编程与上机调试能力。 算法描述 4.2.1 Lagrange插值 4.2.2 牛顿插值法 4.2.3 三次样条插值 4.3 实验要求: 用Matlab和插值中的某种具体算法编写代码并执行，完成解决具体问题。 4.4 实验内容 计算书上的习题 Matlab Spline　Tools 实验五 最小二乘法 5.1 实验目的 掌握最小二乘法的基本思路和拟合步骤； 培养编程与上机调试能力。 5.2 算法描述 5.2.1最小二乘法基本思路 已知数据对，求多项式 使得为最小，这就是一个最小二乘问题。 最小二乘法计算步骤 用线性函数为例，拟合给定数据。 算法描述： 步骤1：输入值，及。 步骤2：建立法方程组。 步骤3：解法方程组。 步骤4：输出。 5.3实验要求 用Matlab和插值中的某种具体算法编写代码并执行，完成解决具体问题。 5.4 实验内容 计算书上的习题 Polyfit 实验六 复化求积公式与龙贝格算法 6.1 实验目的 掌握复化求积公式与龙贝格算法的基本思路和迭代步骤； 培养编程与上机调试能力。 6.2 算法描述 6.2.1 复化梯形、Simpson、Cotes公式 6.2.2 龙贝格算法基本思路 龙贝格算法利用外推法，提高