将数学建模融人大学数学.docVIP

数学建模融入大学数学主干课程的教学模块示例 胡学刚 （重庆邮电大学 数理学院， 重庆 400065） [摘要] ：把数学建模思想方法融入大学数学主干课程教学是培养学生创新能力和实践能力的一个有效途径，是当前大学数学教学改革的一个重要方向。本文讨论了将数学建模思想渗入大学数学主干课程的三个教学示例，并详细给出了具体的教学组织方式和教学建议。 [关键词]数学建模思想；教学改革；大学数学课程 1.引言 大学数学教育的任务就是要通过教学活动让学生学习掌握数学的思想、方法和技巧，并能学以致用，初步具备自学所需的更深入的数学能力。传统的大学数学基础课无疑在奠定学生的高等数学基础、培养学生的自学能力以及为后续课程的学习打基础方面起到相当大的作用。然而其教育方式过于强调数学的严格思维训练和逻辑思维培养，重视解题技巧训练，缺乏从具体现象到数学的一般抽象和将一般结论应用到具体情况的思维训练。其后果是，容易使学生形成呆板的思维习惯，不少学生还反映“学了不少数学，但是不会用数学解决实际问题。”更多的学生认为“学数学没有多大用处”，大大影响了学生学习的积极性和数学素养的提高。 从理论和近年来的教学实践都证明，开展数学建模教学对培养学生的全面素质，对学生进行创新教育，提高学生的创新能力和实践能力，推进和深化高校的教学改革都有重要作用，已在教育界内外形成广泛共识。但是，由于种种原因，高校的数学教学传统模式仍占主导，仅有部分院校在某些专业开设了数学建模与数学实验课，也仅有部分学生能参加数学建模竞赛活动，大部分学生都缺乏数学建模的初步训练，远远没能使所有学生从数学建模教学中获益。目前，普遍认为弥补这一不足的思路是将数学建模的思想融入到大学数学的主干课程中去，特别是高等数学课堂。 我们知道，数学类主干课程的原有体系是经过多年历史积累和考验的产物，没有充分根据是不宜轻易彻底变动。中国科学院院士李大潜指出：“数学建模思想的融入宜采用渐进的方式，力争和已有的内容有机的结合，充分体现数学建模思想的引领作用”。如何将数学建模思想有机地融入到数学主干课程中去，是一个亟待解决的问题。我们认为，解决此问题的方式和途径之一是开发一些数学建模教学模块(modules)，在保持原有教学体系基本不变的情况下，通过恰当的教学方式选取一些模块进行教学。这样不仅可以加深学生对相关知识的理解和掌握，而且更有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识。本文以高等数学课程为例，给出三个数学建模教学模块示例。 2.数学建模教学模块示例 示例1. 公平的席位分配问题 1) 问题的提出 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。 系别 学生人数 学生人数比例（%） 20个席位的分配 21个席位的分配 比例分配席位 参照惯例结果 比例分配席位 参照惯例结果 甲 100 50 10.0 10 10.815 11 乙 60 30 6.0 6 6.615 7 丙 40 20 4.0 4 3.570 3 总和 200 100 20 20 21 21 由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。请问：如何分配才算是公平？ 2) 问题的分析 席位的分配应对各方都要公平，解决问题的关键在于建立衡量公平程度既合理又简明的数量指标。 3) 模型的建立 设A，B两方，人数分别为和，占有席位分别是和，则两方每个席位代表的人数分别为和，显然当时席位的分配才是公平的. 但因人数为整数，所以通常。这时席位分配不公平，且较大的一方吃亏。当时，定义 （1） 为对A的相对不公平值。当时，定义 （2） 为对B的相对不公平值。 要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使和都尽可能小. 4) 模型的求解 假设两方分别占有和席，利用相对不公平值和讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A还是B。不妨设，即对A不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： (1) 当时，这说明即使给A增加1席，仍然对A不公平，所以这一席显然应给A方. (2)当