探求平面上到三定点距离最短的点-江西教师网.docVIP

★探求平面上到三定点距离和最小的点 江西省乐安一中 黄绍荣 １．海仑定理光线的极值性质 已知一直线L以及L的同一侧的两点M和N，试问L上的哪一点P到M、N的距离之和PM+PN最小（即M到L再到N的路径最短）？这就是有关光线的海仑定理。 我们将Ｌ视作一镜面，将Ｎ镜像到Ｎ＇，即L是NN＇的垂直平分线，则ＭＮ＇∩Ｌ所得点Ｐ即为所求点．（证明简易，从略）易知 ∠１＝∠３＝∠２，即ＭＰＮ是Ｍ经Ｌ到Ｎ的反射路径，在所有的其他可能路径中，这条光线的反射路径最短．此时PM，PN与直线L的夹角相等；反之， 定理1．M、N是直线L同侧两点，直线 L上的点P满足到两点M、N距离之和最小的充分必要条件是“PM，PN与直线L的夹角相等”。 问题可以推广到多条直线Ｌ１，Ｌ２，……的情形。 ２．椭圆和双曲线的切线性质 定理2. 若直线L切椭圆于点P，则切点P与椭圆两个焦点的连线PO1、PO2与切线L的夹角相等。 证明：∵平面上到两定点O1、O2距离等于定长PO1+PO2=2a的点的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，在椭圆外部的任意一点P＇到O1、O2距离大于2a ，又∵切线L上除点P外，所有的点均在椭圆外部，∴在直线L上点P是到O1、O2距离之和最短的点，故PO1、PO2与切线L的夹角相等。（定理1） 定理2逆定理．若P是直线L与位于L旁的椭圆O1O2的公共点，且满足PO1、PO2与直线线L的夹角相等，则L与椭圆O1O2相切于点P 证明：∵PO1、PO2与直线线L的夹角相等且O1、O2位于L同侧，∴P是L上到O1、O2距离之和（令为2a）最小的点，又∵L与椭圆O1O2有公共点P，若L椭圆O1O2不相切，则L上必存在P＇位于椭圆O1O2内部，从而P＇到O1、O2的距离之和小于2a，这与P是L上到O1、O2距离之和（令为2a）最小的点相矛盾。∴L与椭圆O1O2相切于点P。 按照上述同样的推理，即可证明著名定理：双曲线上任一点处的切线平分双曲线的两焦点在该点所张的角（如右图）。（把O1 反射到o1＇，易见L上P o1＇－PO2的最大值点P是o1＇O与L的交点——△中两边之差第三边） 3．到三定点距离和最小的点的探求 【1】问题：设A、B、C是平面上不共线的三点，试在平面上求第四个点P，使得P到三定点的距离之和PA+PB+PC最小。（此问题早在十九世纪初叶，由柏林大学的几何学著名代表J．史坦纳提出，故亦称为“史坦纳问题”） 【2】解答：分两种情形。（1）若△ABC的所有内角均小于120o ，则P是使PA、PB、PC两两成120o的点；（2）若△ABC中有一个内角，不妨设∠A≥120o ，则P就是此顶点A。 证明：（承认这样的点P是存在的）∵要找的点P有两种情形，（1）与A、B、C均不重合；（2）与A、B、C之一重合， 若为情形（1），不妨设P到顶点B、C的距离和PB+PC=2a ，以B、C为焦点2a为长轴作椭圆BC，如图1，则点A必在椭圆BC外部。（若点A在椭圆BC上则ＡＢ＋ＡＣ=ＰＢ＋ＰＣ，则Ｐ必须与点Ａ重合，这与题设矛盾；若A在椭圆BC内部，则ＡＢ＋ＡＣＰＢ＋ＰＣ，则Ｐ亦必须与点Ａ重合，与题设矛盾）．∵点A在椭圆BC外，∴P必是椭圆BC上这样的点，它到点A距离PA最小，设为r，以Ａ为圆心，r为半径作⊙Ａ，则⊙Ａ必与椭圆BC外切于点Ｐ，从而过点P存在⊙Ａ与椭圆BC的公切线L，∴PB、PC与L的夹角相等，PA⊥L，∴∠BPA=∠CPA ；同理可证∠CPA=∠CPB，从而∠BPA=∠CPA=∠CPB=120o；显然，此时△ABC的三个内角均小于120o 若为情形（2），不妨设P与点A重合，则∠A≥120o 。因为，如图1，由情形（1）的推证过程可知，当∠A逐渐增大至120o时，点A逐渐移至点P，反之亦然，也就是说，当∠A=120o时，P与A重合；当A继续移至椭椭圆内部时，∠A120o ，反之∠A120o时，A在椭圆BC内部，则ＡＢ＋ＡＣＰＢ＋ＰＣ，则Ｐ必须与点Ａ重合。 【3】作图法探求点P。 如图2，分别以AB、AC为弦画圆，使得弦AB、AC在△ABC内部所对的圆周角均等于120o 。点P为两圆另一公共点。可见共点P（在△ABC内时为两圆的另一交点）随着∠A的增大而由△ABC内逐渐向顶点A靠近然后停留在Ａ点(∠A≥1200时)。 ∠A120o时跑出△ABC外部逐渐远离A而去的点P＇不是问题的解（见附图4）。  参考文献：《数学是什么》，湖南教育出版社，[美]R·柯朗、H·罗宾斯著 . o1 .o2 Ｐ· L １ 2 Ｌ . o1＇ . o2 A. B. C. .P . A＇ L 60o ． P. 图4 P. . C B. P＇