全等三角形中做辅助线总结.doc

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀： 三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 由想到的辅助线 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE 已知：在△ABC中，ABAC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC 已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。 （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 如图2-1，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。 求证：∠ADC+∠B=180? 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 如图2-2，在△ABC中，∠A=90?，AB=AC，∠ABD=∠CBD。 求证：BC=AB+AD 分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。 已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。 分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。 练习： 1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA，PD⊥OA， 如2．已知在△ABC中，∠C=90?，AD平（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180?。 4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。 已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90?,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。 （三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC） 分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90?，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。 求证：AM=ME。 分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC） 分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作