概率论与数理统计总结和试卷2013.doc

随机事件及其概率 一、随机现象 1．确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. 2．随机现象 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果. 二、随机试验 1．如果一个试验都具有以下的特点： （1） 可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。 2．我们把随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间，记为Ω。样本空间的元素，即的每个结果，称为样本点，记为ω 3．在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件。随机事件常用大写字母表示，它是样本空间Ω的子集合。在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点出现时，称事件发生。 三、 事件间的关系与运算 设试验的样本空间为Ω，而是Ω的子集。 （1）事件的包含与相等:若事件发生必然导致事件发生，则称事件包含事件，记为或者。若且，即，则称事件与事件相等。 （2）事件的和: 事件与事件至少有一个发生的事件称为事件与事件的和事件，记为.事件发生意味着：或事件发生，或事件发生，或事件与事件都发生。 （3）事件的积:事件与事件都发生的事件称为事件与事件的积事件，记为，也简记为。事件（或）发生意味着事件发生且事件也发生，即与都发生。 （4）事件的差:事件发生而事件不发生的事件称为事件与事件的差事件，记为。 （5）互不相容事件(互斥):若事件与事件不能同时发生，即，则称事件与事件是互斥的，或称它们是互不相容的。若事件中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。 (6) 对立事件:“不发生”的事件称为事件的对立事件，记为.和满足：，，。 （7）事件运算满足的定律 设为事件，则有 交换律:；。结合律:；。 分配律:；。对偶律:；。 四、 频率 设为任一随机试验，为其中任一事件，在相同条件下，把独立的重复做次，表示事件在这次试验中出现的次数（称为频数）。比值称为事件在这次试验中出现的频率。 五、 概率的统计定义 1．设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，则称数为事件的概率，记为：。 2．概率的性质 （1）.（2） ， .（3）若，则. （4）.（5）.特别地，若 ， ，.（6）对任意两个事件，有. 六、 古典概型（等可能概型） 如果做某个随机试验时，只有有限个事件可能发生，且事件满足下面三条： （1）发生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次试验中至少有一个发生（完备性）；（3）在任意一次试验中至多有一个发生（互不相容性）。具有上述特性的概型称为古典概型或等可能概型。称为基本事件。 等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验共有个基本事件，事件包含了个基本事件，则事件的概率为 七、 条件概率 设是两个事件，且，称=为在事件发生的条件下事件发生的条件概率 八、 乘法公式 由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式： 利用这个公式可以计算积事件。 九、全概率公式 全概率公式：为样本空间Ω的一个事件组，且满足： （1）互不相容，且;(2) Ω 则对Ω中的任意一个事件都有 十、 贝叶斯公式 设是样本空间Ω的一个事件，为Ω的一个事件组，且满足： （1）互不相容，且;(2) Ω，则 十一、 事件的独立性 1.若两事件，满足,则称，相互独立 2. 若四对事件中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的. 3. 设是三个事件，如果满足： 则称这三个事件是两两独立的。 4. 设是三个事件，如果满足： , 则称这三个事件是相互独立的。 5. 三个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立未必是相互独立。  第二章 随机变量 随机变量的定义 1．设Ω是随机试验E的样本空间，若对每个ω∈Ω有一个实数X(ω) 和它对应，就得到一个定义在Ω上的单值实函数X(ω) ，称X(ω) 为随机变量。随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母z,x,h等表示。随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等表示。 2．随机变量的分类：（1）离散型随机变量-所有取值可以逐个列举。（2）连续型随机变量-全部可能取值不仅有无穷多，而且不能能一一列举，充满某些区间。 二、离散型随机变量的概率分布 1．设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为： ( 则称上述一系列等式为随机变量的概率分布。 为了直观起见，有时将的取值及其对应的概率列表如下： …… … …… … 我们称这种表为离散型随机变量的概率分布表。式子，（和概率分布表都称为离散型随机变量的分布律. 2。离散型随机变量的概率分布具有