西南大学2015年继续教育《数学分析选讲》第一次作业.doc

《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界. 对 2. 函数为上的有界函数.对 3．函数既不是奇函数，也不是偶函数.对 4. 若数列收敛，则数列收敛. 对 5．若数列有界，则数列一定收敛.错 6．若数列收敛，则数列的任何子列都收敛.对 7. 设数列与都发散，则数列一定发散.错 8．若为无上界的数集,则中存在一递增数列趋于正无穷.对 9．若函数在的极限存在，则在处一定连续. 错 二、选择题 1．设, 则 ( A ) A ； B ； C ； D 2．设函数 ， 则 （ C ）． A ； B ； C ； D 3．若数列有极限,则在的邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列收敛，数列发散，则数列 （ D ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设，则 （ C ） A 数列收敛； B ； C 数列可能收敛，也可能发散； D ； 6．已知 ，其中是常数，则（ B ） A ； B ； C ； D 三、计算题 1．求极限 . 解： 求极限. 解： 求极限 . 解：因为 又，所以由迫敛性定理， 考察函数的连续性.若有间断点指出其类型. 解： 当时，有；同理当时，有.而，所以。所以是的跳跃间断点. 四、证明题 设，，且. 证明：存在正整数，使得当时，有. 证明：由，有. ，由保号性定理，存在，使得当时有。 又，又存在，使当时有. 于是取，当时，有