YXY8等参单元.ppt

　　以 为例，首先考虑 在结点2，3，4，…，8的值全为零的条件。由于通过这七个结点可作出三条直线 , , ,它们的方程分别为 (8-32) 因此，应具有如下形式 (8-33) 再考虑 在结点1处等于一的条,将结点1的坐标（-1，-1）代入上式，可得 。这样就确定了形函数 。用同样的方法可求出其它七个形函数。 返回 二、等参元 等参元的整体坐标为直角坐标（x, y）。等参元的任意指定的八个结点的整体坐标值分别为（xi, yi），（i=1, 2 ,…, 8），如图8-8所示。 采用坐标变换可使母单元的八个结点 与等参元的八个结点（xi, yi）一一对应。整体坐标 和局部坐标 的变换式为 (8-34) 其中： 是母单元的形函数。 根据等参元的思想，等参元的位移模式仍取为： 返回 (8-35) 　　这样，就确定了平面八结点曲边四边形等参元的几何形状和位移模式。在实际应用中需要注意以下几个问题： 1）在划分单元时，只需确定单元结点的整体坐标值，而不必画出其抛物线形状的边界。因为在计算中实际使用的只有单元八个结点在整体坐标下的位置坐标（xi, yi）（i=1,2,…,8）。 2）在划分单元和布置结点时，单元的各边长度相差不能太大；各边上结点间距应尽量均匀，以减少计算误差。 3）为了计算简单，当求解区域为曲线边界时，只将位于边界的单元取为曲边四边形，而内部单元仍然划分为直边四边形。这样，即能较好地处理曲边边界，又能提高单元内部插值的精度。 返回 三、单元分析 　　将八结点曲边四边形等参元的位移模式代入平面问题的几何方程，便得到单元应变分量的计算式 其中：是单元的结点位移列阵 (8-36) ( i=1, 2, …, 8) (8-37) 返回 是单元应变矩阵 ( i=1, 2, …, 8) (8-38) 由于，形函数是局部坐标的函数。因此，需要进行偏导数的变换 (8-39) 返回 其中，由式（8-20）给出 根据坐标变换式可知 (8-40) 返回 而以上各式中的 和 ，可由式（8-9）分别对偏微分而求得。这样就把 和 转化成了局部坐标的函数，从而求的应变矩阵[B]和单元应变[ε]。 将单元应变代入平面问题的物理方程式，就得到平面八结点等参元的应力列阵 (8-41) （i=1, 2, …, 8） (8-42) 式中，[S]为应力矩阵 返回 利用虚功原理可以得到其单刚矩阵 (8-43) 式中，t为单元厚度。 把（8-43）式写成分块矩阵，可分成8×8个子矩阵，每个子矩阵都是2×2阶矩阵，即 (8-44) 返回 应该指出，上式是对ξ和η的重积分，尽管其积分区域十分简单，但其被积函数却比较复杂，需要采用数值积分法求解（通常是采用高斯积分法）。 其中子矩阵 (8-45) 返回 四、等效结点载荷 　　整体结构结点载荷列阵是通过将作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到结点后，经过组集得到 1. 集中力的等效结点载荷 　　设单元任意点c作用有集中载荷 ，则移置到单元各有关结点上的等效结点载荷为 (8-47) (8-46) 式中 (Ni)c是形函数Ni在集中力作用点c处的取值，可通过以下 返回 步骤计算： 1）根据作用点c的整体坐标 ，得到其局部坐标 。 (8-48) 　　式中： 均为已知数。解此联立方程式就得到c点的局部坐标 。 2）将局部坐标 代入式（8-9），得到c点的形函数值(Ni)c。 实际计算时，应尽量把集中力作用点取为结点，从而把载荷 直接加在该结点上。 返回 2. 体积力的等效结点载荷 3. 表面力的等效结点载荷 设单元上作用的体力为 ，则移置到单元各有关结点上的等效载荷为 (8-49) 式中：t为单元厚度。 设单元的某边界上作用的表面力为 ，则这条边上三个结点的等效载荷为 式中 Γ是单元作用有面力的边界域；ds是边界域内的微段弧 (8-50) 返回 长；t是单元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式给出的，使用时不太方便。在实际结构上往往给出的是沿单元曲线边界的法向和切向的面力qn和qt。因此，需要对式（8-50）进行适当的修改。现规定：法向面力qn以沿