论复变函数在工程中的应用.docx

复变函数与积分变换学 院： 电气工程学院专业班级：电气工程及其自动化1303班学 号： 131502131学生姓名： 王丁指导教师： 丁蕾辅 导 员： 鲁力鹏2014年12月论复变函数在工程中的应用利用复变函数研究平面向量场的有关问题。以静电场为例。我们知道，场内没有其他带电物体的平面静电场即使无源场也是无场。我们可以利用复变函数中的解析函数构造场E的复势。因为E为无源场，所以divE=+=0。从而我们知道在B内?????+????????是某二元函数u(x,y)的全微分，即：du x,y=?????+????????由于等值线u(x,y)=??1上任一点处电场强度E的方向与等值线在该点处的切线方向相同，等值线就是向量线，也就是场E的电力线。因此称u(x,y)为该场的力函数。又因为场E为无旋场，所以?=0。从而我们知道在B内??????????????????也是某二元函数v(x,y)的全微分，即：dv x,y=??????????????????所以v(x,y)是场E的势函数，等值线v(x,y)=??2就是等势线。?综上所述，不难看出如果E是单连域B内无源无旋场，那么u与v也满足C-R方程，并且它们具有连续偏导数，所以，函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B内的一个解析函数，成为静电场E的复势。利用静电场的复势可以统一研究力函数和势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。?以上便是复变函数在静电场中最初步研究的一些浅显的应用。显而易见，复变函数的一些基本性质（如解析函数、C-R条件等）在其中发挥着举足轻重的作用。相量法分析线性电路的正弦稳态响应。相量法（phaser method），分析正弦稳态电路的便捷方法。它用称为相量的复数代表正弦量，将描述正弦稳态电路的微分（积分）方程变换成复数代数方程，从而简化了电路的分析和计算。相量可在复平面上用一个/view/77474.htm矢量来表示。它在任何时刻在虚轴上的投影即为/view/1146644.htm正弦量在该时刻的瞬时值。引入相量后，两个同频率/view/1146644.htm正弦量的加、减运算可以转化为两个相应相量的加、减运算。相量的加、减运算既可通过/view/10078.htm复数运算进行，也可在相量图上按/view/77474.htm矢量加、减法则进行。/view/1146644.htm正弦量与它的相量是一一对应的，因此求出了相量就不难写出原来需要求的/view/1146644.htm正弦量。利用相量可将/view/780107.htm电路元件在时域中的电压电流关系转换成电压相量与电流相量的关系。将正弦/view/4735583.htm交流电路中每个电路均用对应的相量电路模型代替，便得到一个与原电路相对应的相量电路模型，这种模型对正弦交流电路的计算很有用处。正弦交流电路中一个不含独立电源且与外电路无耦合的一端口网络，其端上的电压相量与电流相量的比值定义为该网络的入端复数阻抗，简称阻抗。它的倒数定义为该网络的入端复数导纳，简称导纳，分别用符号Z和Y表示。复数阻抗的实部称为/view/1470868.htm等效电阻，/view/2441262.htm虚部称为电抗，模称为阻抗模，幅角称为/view/2067454.htm阻抗角,它们分别用符号R、X、|Z|、φ表示。复数导纳的实部称为等效/view/56012.htm电导，/view/2441262.htm虚部称为电纳，模称为导纳模，幅角称为导纳角，它们分别用符号G、B、|Y|、φ表示，于是?Z?=R+jX=|Z|e Y?=G+jB=|Y|e显然，阻抗模等于端口电压/view/29246.htm振幅（有效值）与端口电流振幅（有效值）的比值，/view/2067454.htm阻抗角等于端口电压超前端口电流的角度；导纳模等于端口电流振幅(有效值)与端口电压振幅（有效值）的比值，导纳角等于端口电流超前端口电压的角度。/view/3571.htm电阻元件、/view/560556.htm电感元件和/view/560530.htm电容元件都是最简单的一端口网络。显然，/view/10078.htm复数/view/16812.htm阻抗（复数导纳）的引入能使原非同类的元件归并为都以复数阻抗（复数导纳）来表征的同类元件，复数阻抗（复数导纳）在交流电路中的地位与直流电路中的/view/3571.htm电阻（/view/56012.htm电导）相当。谐波分析法中的复变。在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分