_定积分的简单应用课件.ppt

§3　定积分的简单应用 利用定积分的思想方法解决一些简单曲边图形的面积、变速直线运动的路程、变力作功等问题． 本节重点：应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题． 本节难点：把实际问题抽象为定积分的数学模型． 1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限． 2．要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)≤0时要通过绝对值处理为正． 3．用定积分解决简单的物理问题，关键是要结合物理学中相关的内容，将物理问题转化为定积分解决． 1．利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象; (2)借助图形确定出被积函数; (3)确定积分的 ，需要求出交点的坐标; (4)把所求 转化为求曲边梯形的面积问题． 上、下限 图形的面积问题 [例1]　如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S. [分析]　从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和抛物线的交点的横坐标． [点评]　求平面图形的面积的一般步骤：(1)画图，并将图形分割成若干曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和． 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上、下限． 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： 求y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S. 解法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为 x＝y2，x＝2－y，x＝－3y. 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． [点评]　由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限． 求由曲线xy＝1及直线y＝x，y＝2所围成的平面图形的面积． [例3]　有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． [解析]　(1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， 当t4时，P点向x轴负方向运动． 故t＝6时，点P离开原点的路程 [点评]　路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程s和位移s′情况如下： 将本例第(1)问中的t＝6改为t＝5，结果会怎样？ [例4]　一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功． [点评]　本题常见的错误是在计算所做的功时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt. 设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功． [解析]　设x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx. 依题意，使弹簧伸长5cm，需力100N，即100＝5k， ∴k＝20. ∴F(x)＝20x. 由x＝0到x＝15，力F(x)所作的功