§202第二型曲线积分.ppt

§20.2 第二型曲线积分 20.2.1 第二型曲线积分的定义 20.2.2 第二型曲线积分的计算 20.2.3 两类曲线积分之间的联系 20.2.1 第二型曲线积分的定义 20.2.2 第二型曲线积分的计算 （推广到空间曲线 上 ） 可用向量表示 有向曲线元； 练习题 Page.208-2091(3),3,5(1) 练习题解答 Page.208-209: 1(3),3,5(1) 注意:与第一型曲线积分一样,第二型曲线积分中,x与y不是独立变量. 定义积分四步骤:与定积分一样，曲线积分是一个特殊和式的极限，通过“分割,作乘积,求和,取极限”得到。 通过四步骤:“分割,近似,求和,取极限”,得到变力沿曲线所作的功是一个特殊和式的极限。 曲线的方向性(第二型曲线积分与曲线Ｌ的方向有关)的验证,对同一曲线,当方向由Ａ到Ｂ改为由Ｂ到Ａ时,每一小曲线段的方向都改变,从而所得的Δx, Δy 也随之改变符号,例如 曲线的方向性是两种类型曲线积分的一个重要区别 . 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. 曲线积分的计算都是先化为定积分,第二型曲线积分化为定积分时,上下限的配置与第一型曲线积分不同. 对特殊情形,则转化为参数方程来讨论. 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. * 常力所作的功 分割 1. 变力作功问题 求和 取极限 近似值 精确值 近似 2.第二型曲线积分的定义 上述积分也可写作 对第二型曲线积分，有 二型曲线积分 的鲜明特征: 曲线的方向性 第一型曲线积分的被积表达式只是函数f(x,y)与弧长的乘积,它与曲线L的方向无关. 3.第二型曲线积分的性质 线性性 可加性 仿定理20.1证 同理可证 终点B参数值 起点A参数值 特殊情形 √ × × √ P.205例1 P.206例2 P.207例3 P.207 例4 例6 设L为球面 和平面 的交线, 若面对 x 轴正向看去, L是沿逆时针方向的, 求 (i) (ii) (i) 由对称性， 解 L的参数方程为 因此， (ii) 由对称性， *例7 设G是 R2 中的有界闭域， 是 上的连续 可微函数, 是在G上的连续函数. 则对任意 , 存在 对于任意分割 只要 必有 其中 为端点 的折线. 证 由 的有界性,存在 使得 令 由P,Q在 G 的一致连续性, 存在 使得 就有 由 在 上的一致连续性,存在 使得 就有 . 任意分割 ,满足 令 设 为连接 与 的线段,其斜率为 设 的方程为 则 于是 设 在 到 的那段曲线为 则 因此 注 例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来 逼近. 20.2.3 两类曲线积分之间的联系