谈数学学习.doc

应论坛上朋友们的请求,说说我自己的数分学习经历和心得,以供大家参考.首先声明:世上没有万能的方法,任何一种方法都有其局限性和适用范围,所以对SCIbird说的话要辩证的看,取其精华.类似的,如果你在某本书里看到类似放之四海皆真理的话那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了.正如题目所写的,本文讲述的是如何提高自身数学分析水平也就是说,本文是针对已经学过数分,但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的.一点个人心得,希望能给需要帮助的人指引下方向.说是对数分的,但其实对其它数学科目也有参考意义.只是我对分析比较熟悉,故举的例子多是分析方面的.首先,我们要端正一个态度,即对于一个定理或一个问题,我们不应该用做考试题的态度来对待,而应该用研究数学问题的态度来对待.尽量挖掘出新的东西,而不局限于问题中的结论本身.具体说来,如下:研究问题,笼统说多是关于存在性,唯一性,条件充不充分,必不必要,有无充要条件等等.这些泛泛的说法大家也许都知道,也有道理,不过就是不知道具体该怎样做.下面我就详细说下这些年自己的心得体会,以供参考.1.以几何直观做启发,大胆想象,严密论证.分析界目前有这种不好的倾向,认为几何直观不严密,于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证,有的书上甚至一张图都没有.诚然,大学数学的一个特点是高度抽象性,而且几何直观确实不能代替严密的证明.但一味的强调抽象性,容易迷失方向,尤其是初学者,往往一头雾水,不知所云.其实,几何直观对许多分析定理有启发作用.很多定理可以从几何直观中观察出来,加以提炼,最后严格证明而上升为定理.举个例子:考虑费马引理,即可导函数的极值点处导数值为0.几何直观上,一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的,而且似乎不一定要求导函数连续,然后通过分析严格证明我们的猜想.但是,问题就结束了吗? 我们能不能走的远点,上面说可导函数极值点导数为0,那么我们可以问导数为0是否就是极值点?什么时候有极值点? 前一个问题是否定的,导数为0点未必就是极值点. 至于后一个问题,条件可能不止一个.其中有一个比较特殊,我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.而对于非常数函数,如果最值在区间内部取得,它也是极值,如果f可导,则f(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值).一个条件是非常数可导函数的两端点相等,则区间内部必有最值点,因而有内点x0满足f(x0)=0,于是就有了罗尔定理.我们又问了,这个条件必要吗?可以举出反例,这说明罗尔定理的条件只是充分条件. 类似的几何直观还很多,比如把图象旋转一下,罗尔定理就变成了拉格朗日定理,如果用参数形式表示拉格朗日定理,则就变成了柯西定理.当然,以上只是从几何直观做出的猜想,接下来必须严格的给予证明.2.可以从多角度思考问题.我们解决了一个好的问题后,不必立刻走开.可以再挖掘一下,看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下,结论还成立吗?原题条件是P1,我换个条件P2,结论还成立吗? 或者说,若不满足条件P1,结论还成立吗?原问题条件太苛刻了,我削弱一下条件,结论成立否.原问题是3维的,换成n维情况还成立吗? 原问题要求函数f连续,我换成Riemann可积后,结论如何? 或者说原问题是与三角函数(涉及周期性)有关,我换成一般的周期函数后,结论如何? 或者说原命题是否有推广的可能.举两个例子,比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换),通常要求是一致收敛.但一致收敛这个条件太强了,能否换成更一般的条件.于是阿尔泽拉定理就出现了,其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or谢惠民的书or微积分学教程)所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann积分理论中的控制收敛定理)是如下形式:所谓一致有界,即存在正数M0,使得任取n,x[a,b]有|fn(x)|=M.阿尔泽拉定理断言只需要可积函数列fn(x)点点收敛,即fn(x)→f(x),和一致有界,及f(x)Riemann可积,便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (极限运算与积分运算交顺序)熟悉Lebesgue积分的朋友们会发现,此定理就是实变中Lebesgue控制收敛定理的特例.相比之下多出的条件是要求f(x)Riemann可积,这是因为极限函数未必是Riemann可积的.这一要求在Lebesgue积分理论中可以去掉,因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L积分相对于R积分的优越性).其实从实变角度考察数分会有新的收获的,比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理.另一个例子,我想举下傅立叶级数理论中的Riemann引理,即傅立叶系数趋于0的推广形式, 为∫f(x)sin(λx)dx=0,当λ→∞时. 我