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《数学思想方法》 对我们的现实影响 040113109------刘铭鑫 现实原型 七桥问题 数学模型 一笔画问题 无 解 （一次过桥不可能） 无 解（一笔画不可能） 欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图 能一笔画的图形，其奇点个数或为0，或为2，否则就不能一笔画。点A、B、C、D均为奇点，故无法一笔画，也就是说，即使不返回出发地，也不可能不重复地一次走遍这七座桥。 一.何为数学思想方法？ ☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。 二.为什么我们要学这门课？ 中小学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法． 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识． 深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识． 我觉得： 家教的时候，经常有些学生弄懂了一道题，碰到相似的题目却又不会。 所以我们必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达有哪些信誉好的足球投注网站到一个质的“飞跃”，从而使数学教学不再受“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性． 那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质． 三.这节课主要讲授了什么？ 1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法 1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法） ☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》 2.类比法（数学创造发现的方法） ☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。 ☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。 ☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。 ★ 例子： 1）线段、三角形、四面体 2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式 3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数 ＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理 多项式 ＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理 3. 归纳法（逻辑学中的方法） 与数学归纳法（数学中的一般方法） ☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, Fermat素数：3，5，17，257，65537)； 2)Goldbach猜想（1742年）。 ☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立；