赌本的公平分配.doc

浅谈赌博问题中赌本的公平分配 1、　绪论 1．1　综述 公平分配赌本问题的大意是：甲、乙两人各拿出相同的一份赌注来赌博，赌博形式是同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理？这个问题相传是1645年法国著名数学家巴斯卡(Pas—cal)和费马(P·Fermae)多次书信来往中讨论的一个问题。费马与巴斯卡进行了几次通信，不仅完全地解决了这个古老的赌博难题，还为解决其他机会性游戏搭起了框架，于是后人把他们建立通信联系的这一天看作是现代概率论的生日，概率论即由此而产生了。 概率论作为一门独立的数学分支，是一门研究随机现象的数量规律的学科。从它的起源至近并没有多长的时间，但是，在这段时期，特别是近期，概率论对人类社会的影响却异常重要的。它已被广泛的应用于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术Bernoulli,1654-1705），他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，此书成为概率论的第一本专著切贝谢夫马尔可夫，，，}，并称出现A为“成功”，出现为“失败”。这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验。在伯努利试验中，首先是要给出下面概率：，。显然p≥0，q≥0，且p+q=1。而巴斯卡分布的基本模型为： ，k=r，r+1，… 其描述的内容为考察在伯努利试验中要多长时间才会出现第r次成功。 首先，若第r次成功发生在第ξ次试验，则必然有ξ≥r。我们以表示第r次成功发生在第k次试验这一事件，并以f（k；r，p）记其概率，发生当且仅当前面的k-1次试验中有r-1次成功，k-r次失败，而第k次实验的结果为成功，这些事件的概率分别为与p，于是利用试验的独立性，得到 即 ，k=r，r+1，… 注意到 ，l=k-r 这里利用了推广的二项系数公式。证明如下： 即得所求。 2、巴斯卡分布的期望和方差： 因为当r=1时，该分布便成为几何分布，所以巴斯卡分布期望方差的计算可以依赖于几何分布的结果，而几何分布的期望方差又可通过对其矩母函数的求导来得出。 如果随机变量服从参数为p的几何分布，则可以通过对其矩母函数的求导得： 现在由概率论的知识可知，假定X服从参数为r和p的巴斯卡分布，则X可以表示成r个独立随机变量的和，且每个随机变量均与是有相同的分布，则由几何分布的结果得：。 显然，当0p1时，其方差大于期望。 2、　巴斯卡与费马的通信 2．1　如何公平分配赌本 对于这个问题，也许有人说：甲应该得到全部的100法郎，因为这个赌博只有两种结果，而现在甲领先；又有人说：既然比分是2：1，那么甲应该得到赌金的2/3，乙得另外的1/3。但真实情况是怎样的呢？ 据说对于这个赌本问题，巴斯卡和费马共有7封来往信件，其中巴斯卡致费马的有三封。不管真实情况是怎样的，总之他们都给出了自己的答案，虽然是两份看似不同的答案，但他们都不约而同的运用到了组合工具和递推公式，使得问题能顺利解决且直接推导出了雏形的巴斯卡分布函数。 巴斯卡的做法是：可以先认为甲、乙两人赢得一局的概率相同，都是1/2，那么就可以从第四局开始计算了。甲有两种情况获胜，即直接赢了第四局获胜，它发生的概率为1/2。另一种情况是第四局输了但第五局赢了，它发生的概率为乙赢得第四局的概率乘上甲赢得第五局的概率，为1/2*1/2，则甲获胜的概率为1/2+1/2*1/2=3/4。同理，可计算出乙获胜的概率为1/4，这也正是两人公平分配赌本的方式。 费马的做法是：也先需设双方赢得一局的概率相同，都是1/2。之后显然最多再比两局便可分出胜负了，其中甲要获胜，只需在这两局中赢下一局即可。此时费马想到的是二项分布，即有甲获胜的概率为，乙要获胜则必须连赢两局，其概率为，得到了与巴斯卡相同的答案。 这两种方法有着明显的相同点，而且由此推出的结果的计算式子都是一样的，这多少让人看的有些眼花缭乱。其实这是再正常不过的了，因为他们只是从不同的角度出发，最终推出的都是解决此类问题的巴斯卡分布概率。那么巴斯卡和费马的推导又到底有那些不同，这个赌本问题就只是这样简单吗？显然两位学者并不想就此放弃向深处探讨的机会，否则他们也就成为不了伟大的学者。 2．2　巴斯卡与费马的通信 现在让我们再回到那个分赌本的问题，在给定输赢局数的情况下，巴斯卡和费马都解出了相同的答案，但他们并不仅仅满足于此，他们分别用自己的方法将此问题推广开来，使问题在输赢局数不给定的情况下也有了它的解法，这才是他们真正伟大和有区别之处了。 首先，我们可以把问题假设为：甲、乙两人各拿