八年级数学反比例函数华东师大版知识精讲.docVIP

初二数学反比例函数华东师大版知识精讲 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 反比例函数 ［教学目标］ 1. 理解反比例函数的意义，会画出反比例函数的图像； 2. 能根据图像和关系式探索并理解反比例函数的性质； 3. 能用反比例函数解决某些简单的实际问题。 ［教学重点］ 反比例函数图像及性质应用 ［教学内容］ 一、知识梳理： 1. 反比例关系的概念 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。比如，甲、乙两地的距离是100千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间t与行驶的速度v之间的关系是vt＝100。 2. 反比例函数的概念 （1）定义：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 （2）自变量x的取值范围是x≠0，函数y的取值范围是y≠0。 3. 反比例函数的几种等价形式 y是x的反比例函数变量y与x成反比例（比例系数为k）。 4. 反比例关系解析式的确定 由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因而一般只需给出一组x，y的对应值，然后代入中即可求出k的值。从而可确定反比例函数的解析式。 5. “反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系 我们在小学里学过反比例关系：如果xy＝k（k为常数，且k≠0），则x与y这两个量成反比例关系。这里的x，y既可代表单独的字母，也可表示其他代数式。比如y＋3与x－11成反比例，则，但不能说是反比例函数。又如，y与x2成反比例，则，但同样不能说y是x的反比例函数。成反比例的关系式，不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系。 6. 反比例函数图像的画法 反比例函数的画法与一次函数类似，步骤为列表、描点、连线。 列表时，因为反比例函数的自变量的取值范围是x≠0，故在画反比例函数的图像时，为了使描出的点具有代表性，x应该取一部分正数，取一部分负数，一般是正数、负数各取一半，并且互为相反数。这样既可简化运算，又便于描点。 描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线。连线时，所连的线必须是“光滑的曲线”。比如，画反比例函数的图像。 列表： x －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 描点，连线： 7. 反比例函数的性质： 反比例函数： 图像：双曲线 性质：（1）k＞0时， 函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。 （2）k＜0时 函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 【典型例题】 例1. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，求函数关系式。 分析：根据反比例函数的定义性质来解此题。 解：∵是反比例函数， ∴ 当时，即在第一或第四象限内，y随x的增大而增大； 所以 即当时，y随x的增大而增大。 方法点拨：函数是反比例函数，则是反比例函数，则。 例2. 反比例函数在第一象限内的图像如图所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q。设△POQ的面积为S，那么S的值与k的值是否存在关系？若有关系，请写出S与k之间的关系式；若没有关系，请说明理由。 分析：因为，若设P点坐标为P（x，y），则，又因为P点在第一象限，所以，因此可以得到xy，而由可以得到xy＝k，于是可以确定S与k的关系式。 解：S与k之间的关系式为 设P点的坐标为P（x，y），则 ∵点P在第一象限内，∴ ∴OQ＝x，PQ＝y ∴ 又∵ 例3. 如图，过原点O作一直线与双曲线交于P、Q，过P、Q分别做x轴，y轴的垂线，交于B点，求三角形PQB的面积。 分析：点P在双曲线上，则P点坐标适合函数，P、Q关于原点O对称，所以OP＝OQ，且OA是△PBQ的中位线。 解：设P点坐标为（a，b），则 ∴ 又∵P、Q关于原点O对称 ∴OP＝OQ 又∵BQ∥x轴，所以OA是△BPQ的中位线 ∴BQ＝2OA＝2a，同理可求PB＝2b ∴ 例4. 已知反比例函数与一次函数的图像都经过点（－2，－1），且在x＝3时两函数值相等，求这两个函数的解析