八年级数学期末复习（四）上海科技版知识精讲.docVIP

初二数学期末复习（四）上海科技版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 期末复习（四） 数据的离散程度 二. 主要知识点回顾： 1、极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变动范围，用这种方法得到的差称为这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值。 注： （1）极差反映了数据的离散程度； （2）极差只受最大数据和最小数据影响； （3）部分情况下，极差难以准确说明问题。 2、方差： 标准差： 3、性质： （1）极差：表示一组数据的离散程度，即波动范围的大小，一组数据的极差越大，它的波动范围也越大；反之，波动范围越小。 （2）方差和标准差：反映一组数据与其平均值的离散程度的大小。方差（或标准差）越大，表明它与其平均值的离散程度越大（波动越大），稳定性越差；反之则稳定性越好。 4、规律总结： （1）设一组数据的平均数为，方差为，则另一组数据的平均数为，而这两组数据方差不变，仍为。 （2）如另一组数据为，则该组数据平均数为，方差为。 （3）如另一组数据为 则该组数据平均数为，而方差为。 【典型例题】 例1. 在一次实习作业中，甲、乙两组同学各自对学校的旗杆进行了5次测量，所得数据如下表所示： 所测得旗杆的高度（m） 11.90 11.95 12.00 12.05 甲组测得的次数 1 0 2 2 乙组测得的次数 0 2 1 2 现已算得乙组所测得数据的平均数，方差。 （1）求甲组所测得数据的中位数与平均数； （2）哪一组同学测得的旗杆高度比较一致？ 解：（1）甲组一共有5个数据：11.90，12.00，12.00，12.05，12.05，则甲组数据的中位数为12.00，平均数也为12.00； （2） ，所以乙组同学所测得的旗杆的高度比较一致。 点拨：考查平均数、中位数的意义，比较测得旗杆的高度的一致性就是要比较方差的大小。 例2. 已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6。 （1）求它们的平均数、众数、中位数； （2）求这组数据的方差、标准差 （方差公式：。） 解：（1）按从小到大的顺序排列：3，3，4，5，6，6，6，7。 平均数， 众数是6，中位数是 （2）方差 标准差 点拨：本题主要考查统计知识中平均数、众数、中位数的概念，以及方差、标准差的计算。 例3. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如图所示： （1）请填写表一： 平均数 方差 中位数 命中9环以上的次数（含9环） 甲 7 1.2 1 乙 5.4 表一 （2）请从不同的角度对这次测试结果进行分析。 分析：从折线图上可以看出两人10次射靶的成绩，于是第（1）题中的表很容易填出来。第（2）题具有开放性，要分析测试结果，可从这样几个角度进行考虑：①从方差上看谁的成绩更稳定；②从中位数、平均数看谁的成绩更好；③从平均数及命中9环以上的次数看谁的成绩更优秀；④从折线图走势看谁的发展潜力更大。 解：（1）表中甲的中位数为7，乙的平均数为7，中位数为7.5，命中9环以上的次数（含9环）为3次。 （2）从不同的角度可以得出不同的结果； ①因为平均数相同，且，所以甲的成绩比较稳定； ②因为平均数相同，甲的中位数乙的中位数，所以乙的成绩比甲好； ③因为平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲优秀； ④因为甲的成绩在平均数附近上下波动，而乙处于上升趋势，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，所以乙的发展潜力更大些。 点评：（1）对待实际问题要从实际角度去分析，恰当评估后，再得出正确结论。 （2）从不同的角度看问题可能得到不同的结论，只要言之有理即可。这道题具有开放性，是近年考试的热点题型。 例4. 为了从甲、乙、丙三名同学中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，三人在相同条件下各射靶10次，命中环数如下： 甲：7，8，6，6，5，9，10，7，4，8； 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7； 丙：7，5，7，7，6，6，6，5，6，5。 如果你是教练，你认为应该选哪位同学参加射击比赛？为什么？ 解： 错误决定：因为，所以丙的射击成绩较稳定，故应选拔丙参加射击比赛。 剖析：虽然上面对平均数和方差的计算是正确的，但却做出了错误的决定，原因是没有正确理解使用方差进行分析的前提条件。在运用方差分析问题时，应注意只有当平均数相等或比较接近时，才能用方差的多少判断它们的波动大小。本例中的三者的平均数并不都相等或比较接近，因此不能这样去比较选拔。 正确决定：因为所以应先把丙去掉。又因为，所以乙同学的射击成绩较甲稳定，故应选乙参加射击比赛。 例5. （新信息题）如图所示，公园里有两条石级路，哪一条路走起来更舒适？（图中数字表