八年级数学第三章 分式 第3、4节北师大版知识精讲.docVIP

初二数学第三章 分式 第3、4节北师大版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 第三章：分式 第三节：分式的加减法 第四节：分式方程 二. 教学要求： 1、会探求分式加减运算法则，会进行简单分式的加减运算，及加减、乘除混合运算，并理解其算理． 2、了解分式方程的概念、会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系与区别． 三. 重点及难点： 一次方程的联系与区别． 重点： 1、分式加减运算法则和通分． 2、分式方程的解法，列分式方程解决实际问题． 难点： 1、最简公分母的确定． 2、理解分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题． 四. 课堂教学 ［知识要点］ 知识点1、分式加减法法则 （1）同分母分式加减法法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．这里相加减运算的结果一定要约分化成最简结果． （2）异分母分式加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按同分母的法则进行计算． 说明： （1）异分母分式加减法关键是通分后化为同分母分式的加减法． 通分的概念：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分的关键是找出最简公分母，再依据分式基本性质进行相关变形． （3）最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，并连同单独的因式及指数． （4）分式的运算与分数运算非常类似，因而学习分析运算务必与分式运算进行类比． 知识点2、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 知识点3、分式方程的解法，即解分式方程的一般步骤： （1）去分母：即方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程． （2）解这个整式方程 （3）验根 说明： （1）分式方程的解法充分体现了“转化”思想． （2）解分式方程必须验根，严格的讲，解任何方程都需要验根，但仅是检验解方程过程的正确性，在确保解方程正确的前提下可以省略验根，而解分式方程的验根有其不可省略的原因是在去分母过程中，两边都乘以最简公分母——整式，不能保证整式的值恒不为零，在这个变形过程中有可能扩大了未知数的取值范围，从而产生不满足原方程的数值——增根． （3）验根的方法有两种， ①代入原方程检验． ②代入最简公分母中检验，若最简公分母的值为零，则为增根，反之，为原方程的解． 【典型例题】 例1、通分 分析：分母系数的最小公倍数是36，字母因式a，b的最高次幂是，所以最简公分母是． 解：最简公分母是， 所以＝ 说明：求最简公分母可概括为以下几步： 1、取各分母系数的最小公倍数 2、凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取 3、相同字母（可含字母的式子）的幂的因式取指数最大的，最后按上述的条件将取出的因式写成积的形式，在找出最小公分母后，就要确定分子、分母所应乘以的因式．这个因式就是公分母除以原分母所得的商． 例2、计算： （1） （2） 分析：（1）先将括号内两式分母统一合并后再化简． （2）先将分子、分母因式分解，约简后再进行计算． 解：（1） （2） 例3、已知的值． 分析：根据已知条件，求出的值，进而可得的值，再对所求分式运用分式性质，分子分母都除以，就可求出其值． 解：因为， 所以x≠0 所以 所以＝14 所以 说明：把反复用的式子表示，才能顺利求解． 例4、解下列方程 （1） （2） 解：（1）方程两边都乘以x－2，得： 1－（x－1）＝ －3（x－2） 1－x＋1＝ －3x＋6 －x＋3x＝6－1－1 2x＝4 x＝2 经检验，x＝2是增根 所以原方程无解 （2）方程两边都乘以x（x－2），得 5－4（）＝x（3－4x） 5－＋8x＝3x－ －＋8x－3x＋＝ －5 5x＝ －5 x＝ －1 经检验x＝－1是原方程的解． 例5、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成： （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天； （3）若甲、乙两队合作4天余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前提下，你觉得那一种施工方案最节省工程款？ 分析：以不耽误工期为前提，显然第二种方案是不可取的，而（1）、（3）谁最省钱就要看所花总工程款的多少了，先求出规定工程期限，再分别计算两种方案下的工程款． 解：设预定完成这项工程需x天，依据题意，得： 解这个方程，得x＝20 经检验，x＝20是所列方程的根． 则方案（1）：总工程款＝20×1