第十二章微分方程学习笔记.docVIP

第十二章 微分方程 §12.1微分方程的基本概念 课后习题全解 指出下列微分方程的阶数： 知识点：微分方程阶的定义 ★（1）； 解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 注：通常会有同学误解成未知函数的幂或的导数的幂。 例：（错解）方程的阶数为2。() ★（2）； 解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为2，∴ 方程的阶数为2。 ★（3）； 解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。 ★（4）。 思路：先化成形如 的形式，可根据题意选或作为因变量。 解：化简得 ，出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 2( 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 知识点：微分方程的解的定义 。 思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。 ★（1）， ； 解：将， 代入原方程得 左边右边， 所以是所给微分方程的解。 ★（2）； 解： ， 将， ， 代入原方程得 ： 左边右边， 所以是所给微分方程的解。 ★ （3）； 解：将， ， ， 代入原方程得： 左边=右边( 所以是所给微分方程的解。 ★（4）( ； 解：将，，， 代入原方程得： 左边 右边 ， 所以是所给微分方程的解。 ★★ 3. 验证由方程所确定的函数为微分方程 的解； 解： 将的两边对求导得： ，即。 再次求导得： 。 注意到由 ，可得 ， 所以 ， 从而 ， 即由所确定的函数是所给微分方程的解。 注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。 ★ 4. （是任意常数）是方程的通解，求满足初始条件的特解。 解：将初始条件，代入通解得 ，从而， 所以所求特解为。 ★5. （为任意常数）是方程的通解，求满足初始条件的特解。 解：将，代入通解得 ， 所以 ， 将，代入上式得 ，所以 ， 所以所求特解为 。 ★★6.设函数是方程的通解，求。 解： 由题意得 ，即 ， 代入所给微分方程得 =， 即 ， 积分得 ：= (为任意常数)即为所求。 ★★7 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分，试写出该曲线满足的微分方程。 解：设曲线为，则曲线上点处的法线斜率为， 由题目条件知中点的横坐标为，所以点的坐标为， 从而有 ， 即 为该曲线满足的微分方程。 ★★★8.求连续函数使它满足。 思路：利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条件。 解：令，则 ，且有，， 原方程化简为， 即， 两边关于求导得， 化简得， 两边积分得 即为所求函数。 §12.2 可分离变量的微分方程 课后习题全解 指出下列微分方程的通解： 知识点：可分离变量微分方程的解法。 ★ （1） ； 解： 分离变量得 ， 两边积分得 ， 求解得 ， 从而 ，即， 故通解为。 注：积分出现对数形式时，绝对值符号可以忽略，并不影响结果的正确性。例：改写为，从而，即，故通解为。 ★（2）； 解：分离变量得 ， 两边积分 ， 即， 化简得 ， 故通解为，其中为任意常数。 ★（3）； 解：分离变量得 ， 两边积分得 ， 即 ， 故通解为，其中为任意非零常数。 而显然也为原方程的解， 所以通解为，为任意常数。 注：解题过程中任意常数出现的幂的形式，通常需考察常数取零时是否为方程的解，拓展任意常数的范围可否包括零。 ★(4) ； 解： 分离变量得 ， 两边积分得 ， 即 ， 故通解为。 注：其中 ★(5) ； 解 ：分离变量得 ， 两边积分得 ， 即 ， 故通解为。 ★（6）； 解：分离变量得 ， 两边积分得， 即， 化 简得：， 故通解为，其中为任意常数。 注：本题与课本答案不一致！课本答案错误。 ★（7）； 解：分离变量得 ， 两边积分得 ， 即 ， 故通解为( 其中为任意常数。 ★(8) ； 解： 变形为 ， 分离变量得 ， 两边积分得 ， 即， 故时的通解为 ； 当时, ，为整数。 注: 1、三角函数和差化积公式： ； ； ；。 2、在解题过程中,求通解可忽略特解情形。 2. 求下列齐次方程的通解： 知识点：齐次微分方程的解法。 ★（1）； 解：原方程变为。 令，则原方程化为 ， 即， 两边积分得 ， 将代入上式得原方程的通解为 。 注： 本题与课本答案不一致，课本答案有误。 ★(2)； 解：原方程变为。 令，则原方程化为 ， 即， 两边积分得 ，即， 将代入上式得原方程的通解为 。 ★(3)； 解：原方程变为。 令，则原方程化为 ，即， 两边积分得 ， 将代入上式得原方程的通解 。 ★(4) ； 解：令， 则原方程化为 ，即，