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第二章 导数和微分 微分学是微积分的重要组成部分.微分学的基本概念是导数和微分，导数反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则是描述当自变量有微小改变时，函数改变量的近似值. 本章我们将详细讨论导数、微分的概念，建立导数与微分的基本公式和运算法则，解决初等函数的求导与微分问题. 第一节 导数的概念 一、 引例 1.变速直线运动的速度 设某质点沿直线运动,在时刻时,质点所在位置,当时间从时刻变化到时,质点经过的路程为 , 则质点在到时间段内的平均速度为 . 当很小时,可用近似表示物体在时刻的速度.当时,如果极限存在,则称此极限为质点在时刻的瞬时速度,即 . 2.切线问题 设曲线的图形为图2-1, 点为曲线上一定点,在曲线上另取一点,作割线,当点沿曲线趋于时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线.当趋向时,其倾角也趋向切线倾角,因此切线的斜率为 . 二、导数的定义 上面的两个问题,虽然实际意义各不相同,但讨论方法是一致的,所求量都归结为时的极限.一般地,我们有如下导数的概念. 定义 设函数在点的某邻域内有定义,若极限 存在,则称函数在点处可导,并称这个极限值为函数在点处的导数,记为 ,,或. 即 . 令,则时有,因此 . 如果不存在,则称函数在处不可导.如果,此时在处不可导,但通常也说函数在处导数为无穷大. 下面利用导数的定义计算： 已知求 解： 如果函数在开区间内每一点处都可导,就称函数在内可导,这时对于任意,都对应着的一个确定的导数值,这样的对应关系就构成了一个新的函数,这个函数称为原来函数的导函数,简称为导数,记作 ,,或. 导函数定义为 . 函数在处的导数就是导函数在处的函数值,即 . 下面根据导数的定义求一些简单函数的导数. 例2 求函数(为常数)的导数. 解 , 即 . 例3 求函数(为正整数)的导数. 解 , . 即 . 后边我们将证明对一般幂函数(为任意实数)也有. 例如,当时,,. 例4 求函数的导数. 解 , , 即 . 同理可得 . 例5 求函数()的导数. 解 , 即 . 特别地,当时有 . 极限存在的充分必要条件是及都存在且相等,这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作 , . 左导数和右导数统称为单侧导数. 由函数极限与其左、右极限之间的关系可知， 定理 函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等. 如果函数在开区间内可导,且及都存在,则称在闭区间上可导. 三、导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率.即 . 其中是切线的倾角,参见图2-1. 如果在点处可导,则曲线在点处切线方程为 . 过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线,如果,则法线方程为 . 特别地,若,则曲线在点处的切线方程为,法线方程为;若在处的导数为,则切线方程为,法线方程为. 例6 求曲线在点处的切线方程和法线方程. 解 ,则在点处切线斜率,所以切线方程为 , 即 . 法线方程为 , 即 . 四、函数的可导性与连续性的关系 定理 如果函数在点处可导,则它在点处一定连续. 证 因为在点处可导,即 , 所以 , 故在点处一定连续. 定理证毕. 注意 这个定理的逆命题不成立,即函数在某一点处连续,则在该点处未必可导.请看下面的例子. 例7 设函数,讨论在处连续性及可导性. 解 因为且，所以在处连续. 由于,所以 , , 显然,因此在处不可导. 由以上讨论可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件. 习题2-1 设,按定义求. 一物体的运动方程为,求该物体在时的瞬时速度. 求下列函数的导数: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 4.求曲线在点处的切线方程和法线方程. 5.讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性. (1) 在处; (2) 在处; (3) 在处. 6.设函数若函数在点处连续且可导,则和应取何值? 7.已知函数求. 8.单项选择题. (1)设在点处可导,则 [ ].