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第三章 投影理论及点的投影 主要内容 点在二面、三面投影体系中的投影 投影变换概念及点的投影变换 教学目的 掌握投影规律 学时分配 2学时 重点与难点 重点：点在三面投影体系中的投影 难点：点在四个分角中的投影 教学方式 教学手段 多媒体教学。 学生容易出现的问题 对特殊点，如：OY轴上的点、水平投影面上的点、册立投影面上的点，其侧投影应在OYH上，还是在OYW上。 换面法中坐标关系。 作业及思考题 P151～P153所有习题 其它说明 §3.1 投影（projection）概念 在日常生活中，常见到投影的现象。例如，在电灯与桌面间放一块三角板，则在桌面上会出现三角板的影子。在阳光的照射下，地面上会出现人、树，以及各种建筑物的影子。这些现象就是投影的现象。 投影中心(center of projection）──点光源S。 投射线（投影线）──投下影子的光线。从投影中心发出的射线。 投影面（projection plane）──获得投影的平面。 投影（projection）──通过投射线将物体投射到投影面上所得到的图形。 投影法（projection method）──由投影中心或投射线把物体投射到投影面上，从而得出其投影的方法。 投影法有中心投影（central projection）和平行投影（paralell projection）两种。 一、中心投影法： 投影线在有限远处相交于一点（投影中心）的投影法称为中心投影法。所得投影称为中心投影。 如人的视觉、照相、放电影等，具有中心投影的性质。主要应用于绘制建筑物富有逼真感的立体图，也称透视图。 二、平行投影法 投影线在有限远处相交于一点（投影中心）的投影法称为平行投影法。所得投影称为平行投影。 正投影法──投射线⊥投影面。 平行投影法 斜投影法──投射线倾斜于投影面。 (a)斜投影法 (b)斜投影法 平行投影法 工程制图中多采用平行投影法，尤其是正投影法。 三、平行投影的基本特性 1）同素性 一般情况下点的投影仍为点，线段的投影仍为线段。 2）从属性 点在线段上，则点的投影一定在该线段的同面投影上。点M在线段AB上，那么点M的投影m也一定在线段AB的投影ɑb上。 同素性 从属性和定比关系 3）平行性 空间两直线平行，其同面投影亦平行。空间直线AB∥CD，其投影ɑb∥cd。 4）定比性 点分线段之比，投影后保持不变。即AM∶MB=ɑm∶ mb，上图所示。 空间两平行线之比，等于其投影之比。 5）积聚性 当直线或平面平行于投影方向时，则直线的投影积聚为点，平面的投影积聚为直线，称积聚性。 6）实形性（度量性或可量性） 当直线或平面平行于投影面时，则直线的投影反映实长，平面的投影反映实形。 7）类似性 平行投影的积聚性 平行投影的实形性  平行投影的类似性 直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了；而平面图形变成小于原图形的类似形，称类似性。 四、 工程上常用的几种投影图 1.多面正投影图： 优点：作图方便，便于度量，应用最广。 缺点：直观性不强，缺乏投影知识的人不易看懂。 2.轴测投影图： 平行投影的一种。只需一个投影面，同时反映空间形体的三维。 优点：直观性强。在一定条件下也能直接度量。 缺点：绘制较费时。表示物体形状不完全。一般作正投影图的辅助图样。 3.透视投影图： 优点：图形十分逼真。 缺点：不能度量，绘制复杂。 4.标高投影图： 正投影的一种。主要用来表示地形。 采用地面等高线的水平投影，并在上面标注出高度的图示法。 §3.2 点的二面投影（two-plane projection of point） 一、二面投影体系的建立及点的二面投影 点是形体最基本的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。 图 2 设立一个投影面P，则A1、 A2、 A3点在投影面P上的正投影是唯一的。但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。 现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V（也称正面或V面）、水平投影面H（也称水平面或H面），从而构成二投影面体系。V面和H面的交线OX称为投影轴。 A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’表示。 A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影，用a表示。 图 3 我们需要把这种空