一元函数微分学学习笔记.docVIP

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲） 内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限 存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。 导数定义的另一等价形式，令，，则 我们也引进单侧导数概念。 右导数： 左导数： 则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点（）处的切线的斜率。 切线方程： 法线方程： 设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，，在处连续，却不可导。4．微分的定义 设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 （） 其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。 我们定义自变量的微分就是。5．微分的几何意义 是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量6．可微与可导的关系 在处可微在处可导。 且 一般地，则 所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7．高阶导数的概念 如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。 如果的阶导数的导数，称为的阶导数，记以，，等，这时也称是阶可导。 二、导数与微分计算 1．导数与微分表2．导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式 （3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法 （6）用参数表示函数的求导公式一、用导数定义求导数 例 设，其中在处连续，求 解：二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数 试确定、的值，使在点处可导。 解：∵可导一定连续，∴在处也是连续的。 由 要使在点处连续，必须有或 又 要使在点处可导，必须，即. 故当时，在点处可导.例2 设，问和为何值时，可导，且求 解：∵时，， 时， ∴ 由处连续性，，，可知 再由处可导性， 存在 存在 且 根据洛必达法则 ，∴ 于是 三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设可微，，求 解： 例2 设，求 解： 对求导，得 再令，，对求导， ，∴ 于是 （）例3 设由方程所确定，求 解：两边取对数，得， 对求导， ，例4 设 求 解： 四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线与在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程。 解：由已知条件可知， 故所求切线方程为 例2 已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。 解：曲线的参数方程为 故切线方程 即 法线方程 即 例3设为周期是5的连续函数，在邻域内，。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。 解：由题设可知，，故切线方程为 所以关键是求出和 由连续性 由所给条件可知，∴ 再由条件可知 令，又∵ ∴ 上式左边= = 则 所求切线方程为 即 五、高阶导数 1．求二阶导数 例1 设，求 解： 例2 设 求 解： 例3 设由方程所确定，求 解：， 2．求阶导数（，正整数） 先求出，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的阶导数公式 （1） （2） （3） （4） （5） 两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式 其中，， 假设和都是阶可导 1 设（正整数），求（正整数） 解： 例2 设，求 （正整数） 解： 例3 设，求（正整数） 解： …… 例4 设，求（正整数） 解： 例5 设，求（正整数） 解：用莱布尼兹公式 本节专门讨论研数学中经常考的四大定理罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。一、罗尔定理 设函数满足 （1）在闭区间[]上连续； （2）在开区间（）内可导； （3） 则存在，使得 几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；[包括点A和点B]。 条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线[不包括点和点]。 条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等