导数学案一学习笔记.docVIP

燕园思达教育学案 日期：______________ 任课教师 何格 学科 数学 年级 高二 班级人数 1 上课时间 家长必读 作业完成情况 作业准确率 课后作业说明 第一讲 主要知识及主要方法： 设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量 ，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的 ，记作，即 在定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 . 导数的几何意义： 导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线上点（）处的切线的 . 因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的 ，简称导数，也可记作，即＝＝ 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝.所以函数在处的导数也记作 可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导 可导与连续的关系：如果函数在点处可导，那么函数在点处 ，反之 . 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 求函数的导数的一般步骤：求函数的改变量 求平均变化率；取极限，得导数 几种常见函数的导数：(为常数)；()； ； ；； ， ； 求导法则：法则 ． 法则 , 法则： 复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代 导数的几何意义是曲线在点（）处的切线的斜率，即， 要注意“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不尽相同的，后者必为切点，前者未必是切点. 例题讲解 例1、已知，求 设函数在点处可导，求 (3)对于上可导的任意函数，若满足≥，则必有 ( ) ≤ ≥ (4)设函数，在上均可导，且，则当时，有 C 例2、的导函数的图象如图所示，则的图象最有可能的是 C 例3、求下列函数的导数： ； （2）； （3） （4）； （5） （6） （7）设，，，…，，，则 例4．已知，则 过点作抛物线的切线，则其中一条切线为 （届高三攸县一中）已知曲线的一条切线方程是，则 的值为 或 或 (4) 已知函数的图象在点处的切线方程是，则 例5、已知函数在处取得极值. 讨论和函数的的极大值还是极小值； 过点作曲线的切线，求此切线方程. 第二讲 主要知识及主要方法： 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: 求; 确定在内符号; 若在上恒成立，则在上是 ；若在上恒成立，则在上是 极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有 ，就说是函数的一个极大值，记作极大值， 是 极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点， 都有 就说是函数的一个极小值，记作极小值， 是 极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小